Non-linearities: from the dynamics of the simple to the dynamics of the complex

NAO-LINEARIDADES: DA DINAMICA DO SIMPLES A DINAMICA DO COMPLEXO Jose Roberto Castilho PIQUElRA 1 • RESUMO: Foram apresen tados alguns conceitos relativos a utilizaC;80 da Teoria dos Sistemas Dinami cos em problemas de sistemas complexos . A apresentac;ao destes conceitos centra-se no estabeleci mento de duas dinamicas : uma de curto termo e outra de longo termo, relacionando-as com os processos de organizaC;8o dos sistemas . • PALAVRAS - CHAVE : Caos ; sistemas dinamicos ; superposiC;80 ; nao-linearidades; bifurcac;ao ; irrever sibiJidade; complexidade. o mundo cientifico produz, atualmente , aquilo que parece ser a busca de urn novo paradigma universalista para a ciencia . A descoberta de comportamentos caoticos, a formulac;ao da Geometria fractal e a descric;ao de fenomenos auto-organi zados apontam para a integrac;ao mais efetiva das ciencias relativas aos niveis de organizac;ao superiores com as relativas aos niveis de organizac;ao inferiores . A Sociologia e a Psicologia dos individuos e seus grupos, a Biologia das celulas , tecidos , orgaos , sistemas , individuos e populac;6es integram-se, cada vez mais, a Fisica e a Quimica dos atomos e moleculas . Essa integrac;ao , ja sonhada por pensadores do porte de Laplace, Newton , Leibniz , Kant e muitos outros , esteve inviabilizada ate finais d o seculo XIX devido , principalmente, ao estilo de produzir a Fisica proprio daquela epoca . Fundamentada totalmente na Medlnica Classica e embebida pelo determinismo , a Fisica, embora proporcionasse boas soluc;6es para problemas de equacionamento de movimentos de corpos macroscopicos, falhava ao tentar modelar outros problemas . Os niveis de organizac;ao superiores da Biologia , Psicologia e Sociologia resul tavam da interac;ao de uma grande quantidade de sistemas complexos interligados, com forte sensibilidade a perturbac;6es e uma grande riqueza de comportamentos possiveis . 1 . Departamento de Engenharia Eletr6nica da Escola Politecnica Trans/Fonn/Ac;:ao, Sao Paulo, 17: 143- 1 50, 1 994 - USP - 05508-900 - Sao Paulo - SP. 1 43 Nao havia, portanto , como modelar esses problemas pela bem- comportada MecEmica, que nao previa espago para indeterminagoes ou comportamentos compli cados. Entretanto , dois fatos datados do final do seculo XIX e do infcio do seculo XX alteraram esse panorama : a formulagao da Mecanica Quantica, responsavel por uma tentativa de modelagem probabilistica do mundo microsc6pico e a conjectura, feita por Poincare, de que sistemas mecanicos modelados por equagoes deterministicas podem apresentar, devido as nao-linearidades , comportamentos complicados e sen siveis as condigoes iniciais . Este artigo trabalha com a segunda descoberta : 0 que sao linearidades e nao-linearidades ; qual 0 impacto das nao-linearidades no desenvolvimento da Teoria dos Sistemas Dinamicos ; e como essa moderna Teoria esta sendo aplicada a casos complexos. Finalmente , uma visao critica gerara uma sugestao de linha de trabalho pela conexao dos conceitos de Bifurcagao e de Organizagao . Sistemas dinamicos o conceito de Sistemas Dinamicos e uma extensao natural do estudo dos movimentos na Mecanica Classica, que apresenta 0 estado dos corpos em cada instante por meio de grandezas que sao , essencialmente , posigoes e velocidades . Essas variaveis se relacionam atraves das equagoes dad as pelas Leis de Newton . Quanto mais complexo 0 sistema , maior 0 numero de grandezas e equagoes neces sarias para descreve-Io . Generalizando , pode-se dizer que u rn Sistema Dinamico e todo aquele cuja evolugao temporal e descrita por urn certo numero de grandezas fisicas relacionadas por equagoes provenientes de modelos. Esse e urn conceito amplo , aplicavel a uma gama de problemas que vai desde sistemas fisicos simples , como 0 pendulo , exaustivamente estudados , ate sistemas biol6gicos complexos , como uma rede de neuronios, proporcionando aqueles uma nova ferramenta de trabalho que , em alguns casos , ja se mostrou uti! e promissora. Os Sistemas Dinamicos assim definidos sao ditos lineares quando as equagoes de seus modelos satisfazem 0 chamado Principio da Superposigao : 0 comportamento do sistema como urn to do e refletido pela soma dos comportamentos de suas partes . Assim, 0 efeito das variagoes produzidas em suas grandezas fisicas , individual mente, equivale ao efeito que seria produzido pela soma dessas variagoes individuais no sistema global . Sistemas Dinamicos que podem ser considerados lineares tern grande importan cia em divers os ramos da Engenharia , tern sido exaustivamente estudados e sua teoria tern sido considerada fechada. 1 44 Trans/Form/Ac;:ao. Sao Paulo. 1 7 : 143- 1 50 . 1 994 Nas ciencias mais complexas, essa superposH;; a o e , evidentemente , pouco comum . A possibilidade de inclusao de nao linearidades , indubitavelmente, torna extremamente atraente 0 usa de ferramentas de Sistemas Dinamicos ; quando isso ocorre, efeitos bastante interessantes acontecem, variando desde comportamentos descritiveis por oscilac;; 6 es auto-sustentadas isoladas ate os chamados comportamen tos ca6ticos , result antes da extrema sensibilidade as condic;; 6 es iniciais , ligada as nao-linearidades . Nao-linearidades em Sistemas Dinamicos Impulsionada pela Mecanica Celeste , Mecanica dos Fluidos e pela perspectiva de aplicac;; a o em Biologia, Psicologia, Sociologia e Economia , a Teoria dos Sistemas Dinamicos nao-lineares teve grande desenvolvimento . A grande dificuldade na obtenc;; a o de soluc;; 6 es explicitas de equac;; 6 es com nao-linearidades colocou matematicos e fisicos no caminho das chamadas Teorias Qualitativas de Sistemas Dinamicos. Esse enfoque consiste em procurar obter visualizac;; 6 es globais de familias de soluc;; 6 es das equac;; 6 es que descrevem 0 sistema e como as variac;; 6 es de seus parametros constitutivos alteram tais familias. Ilustra-se tal fato tomando-se como base 0 chama do modelo de Lotka-Volterra, desenvolvido originalmente para estudar problemas de competic;; a o entre especies em urn dado sistema ecol6gico (Engel, 1 987) . No inicio , 0 modelo foi utilizado para 0 estudo de duas especies, e foi , posteriormente, generalizado para varias delas (Schaffer & Kot , 1 986) ; algumas consideradas presas e outras predadoras , em urn dado sistema ecol6gico com uma certa quantidade de alimento disponivel. Aqui foram consideradas uma populac;; a o de predadores , representada por X l , e duas de presas , representadas por X2 e X 3 . Os predadores alimentam-se das presas e estas da reserva de alimentos disponivel. . . . As populac;; 6 es X l , X 2 e X 3 e suas taxas de variac;; a o X l , X2 e X3 podem ser descritas , de acordo com 0 modelo , pelas equac;; 6 es : Xl = r l X l + a l ZX1X2 + a 13X1X3 X2 = r2X2 + aZ1X1 X2 + a 23X2X3 X3 = r 3X3 + a 31 X1X3 + a 32X2X3 (1) O s parametros r l , r2 e r3 representam proporcionalidades entre a taxa d e aumento de populac;; a o de cada uma das especies e seus valores instantaneo s . (...truncated)