APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA MODEL PERTUMBUHAN POPULASI DENGAN PERTUMBUHAN TERBATAS

Rina, I., Husna, R. 2019. Aplikasi Persamaan Diferensial pada Model Pertumbuhan Populasi dengan Pertumbuhan Terbatas. Sainstek : Jurnal Sains dan Teknologi. 11 (1) : 22 - 27 APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA MODEL PERTUMBUHAN POPULASI DENGAN PERTUMBUHAN TERBATAS Iswan Rina1*, Radhiatul Husna2 1 Universitas Dharma Andalas 2 Universitas Andalas 1 Jl. Sawahan No.103, Simpang Haru, Kec. Padang Timur, Kota Padang, Sumatera Barat 2 Jalan Limau Manis, Kec. Pauh, Kota Padang, Sumatera Barat *Email: ABSTRACT Differential equations are one of the topics in mathematics that have many applications in mathematical modeling, for example in population growth. Population growth is an important thing that needs to be considered in order to be able to see the development of an area so that it can assist the regional government in determining the policies taken for the progress of the region related to the potential growth of the existing population. In this paper we will study population growth models with limited growth. From this model, the population of a region can be predicted in the coming year. Keywords: Model, population growth, deferential equation. PENDAHULUAN Persamaan diferensial merupakan salah satu bagian menarik dalam matematika yang banyak digunakan pada percobaan matematika. Dalam hal ini persamaan diferensial melibatkan turunan yang dapat diinterprestasikan sebagai laju perubahan. Salah satu contohnya adalah laju perubahan populasi. Dari laju perubahan populasi tersebut dapat dikontruksi suatu model pertumbuhan populasi. Pertumbuhan populasi merupakan salah satu faktor penting yang harus diperhatikan untuk dapat melihat perkembangan suatu daerah sehingga dapat membantu pemerintah daerah tersebut, dalam mengambil kebijakan untuk kemajuan daerah. Aplikasi persamaan diferensial ini telah banyak digunakan dalam permasalahan matematika terkait dengan pertumbuhan populasi, misalnya (Tsoularis & Wallace, 2002) membahas mengenai analisis dari model pertumbuhan logistic. Selanjutnya (Law, Murrell, & Dieckmann, 2003) mempelajari tentang pertumbuhan populasi pada ruang dan waktu dengan menggunakan persamaan logistik spasial. Dalam makalah ini akan dipelajari mengenai aplikasi persamaan diferensial pada model pertumbuhan populasi dengan pertumbuhan terbatas. Dari model tersebut dapat diprediksi jumlah populasi suatu daerah di tahun-tahun yang akan datang dengan mengambil contoh kasus pada populasi penduduk provinsi Sumatra Barat. Persamaan Diferensial Berikut ini akan diberikan beberapa hal terkait dengan persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan matematika dalam suatu fungsi satu variabel atau lebih yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalan berbagai orde. (Trench, 2013). Dengan kata lain persamaan diferensial memuat satu atau lebih suku yang melibatkan turunan dari satu variable yaitu variable terikat , misalnya y terhadap variable-variabel lain yakni variable bebas, misalnya x. Solusi dari persamaan diferensial berupa fungsi yang Sainstek : Jurnal Sains dan Teknologi. ISSN: 2085-8019 (p), 2580-278X (e) Published by : AMSET IAIN Batusangkar and IAIN Batusangkar Press 22 Rina, I., Husna, R. 2019. Aplikasi Persamaan Diferensial pada Model Pertumbuhan Populasi dengan Pertumbuhan Terbatas. Sainstek : Jurnal Sains dan Teknologi. 11 (1) : 22 - 27 memenuhi persamaan tersebut. Persamaan diferensial banyak diaplikasikan dalam masalah - masalah pada bidang fisika, kimia, biologi, ekonomi, teknik dan ilmu-ilmu lainnya. Orde dari suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 Sebagai contoh: 𝑑𝑥2 + 2 𝑑𝑥 + 𝑦 = 0 , merupakan persamaan diferensial berorde dua. Derajat dari dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari orde persamaan diferensial tersebut. 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑦 1. Variabel terikat y dan semua turunannya merupakan persamaan diferensial berderajat satu. 2. Masing-masing koofisien hanya bergantung pada variabel bebas x. 3. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya. Sebagai contoh: 1). PDB linier orde satu: (2𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 Contohnya: (𝑑𝑥 3 )3 − 5(𝑑𝑥 3 )3 + 2𝑥𝑦 = 6 , merupakan persamaan diferensial biasa orde 3 berderajat 2. 2). PDB linier orde 3 yaitu: Secara umum persamaan diferensial dibagi dua yaitu: 1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan diferensial yang melibatkan fungsi dari satu variabel dan beberapa turunannya dimana persamaan tersebut memuat masing-masing satu variabel terikat dan bebas. 𝑑𝑦 Contohnya: 𝑑𝑥 = 2𝑥 b. Persamaan Diferensial non Linier adalah persamaan diferensial adalah persamaan diferensial yang bukan persamaan diferensial linier. Sebagai contoh : 2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah persamaan diferensial yang melibatkan fungsi dari dua variabel atau lebih dan beberapa turunan parsialnya. Dalam hal ini persamaan diferensial tersebut memuat satu variabel terikat dari dua atau lebih variabel bebasnya. Contohnya persamaan gelombang: 2 𝜕2 𝑦 2𝜕 𝑢 = 𝑐 . 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 Berdasarkan kelinierannya, persamaan diferensial dibagi menjadi: a. Persamaan diferensial linier yaitu persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk 𝑑𝑛𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑3 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑦 1. (2 − 𝑦) 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 , PDB non linier orde 1. 𝑑2 𝑦 2. 𝑑𝑥 2 + sin 𝑦 = 0 , PDB non linier orde 2. (Giordano, Fox, & Horton, 2010). Salah satu cara untuk menyelesaikan suatu PDB orde 1 dapat dilakukan dengan metode pemisahan variabel yaitu dengan memisahkan variabelnya di dua ruas yang berbeda kemudian di integralkan kedua ruanya sehingga diperoleh solusinya. Metode ini dapat digunakan untuk persamaan diferensial dalam bentuk sebagai berikut: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑦)𝑔(𝑥) , 𝑑𝑥 dimana f suatu fungsi dari y saja dan g hanya meupakan fugsi dari 𝑥 . Selanjutnya dinyatakan sebagai 1 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑓(𝑦) Dari persamaan tersebut dapat dilihat karakteristik persamaan diferensial linier yaitu: Sainstek : Jurnal Sains dan Teknologi. ISSN: 2085-8019 (p), 2580-278X (e) Published by : AMSET IAIN Batusangkar and IAIN Batusangkar Press 23 Rina, I., Husna, R. 2019. Aplikasi Persamaan Diferensial pada Model Pertumbuhan Populasi dengan Pertumbuhan Terbatas. Sainstek : Jurnal Sains dan Teknologi. 11 (1) : 22 - 27 sehingga dapat diintegralkan kedua ruasnya untuk mendapatkan solusinya berupa 𝑦= 𝑓(𝑥). METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1) Memberikan penjelasan mengenai persamaan diferensial 2) Mengambil data sensus penduduk sumbar sebagai studi kasus 3) Mengidentifikasi masalah 4) Membuat asumsi dan mengkonstruksi model 5) Mencari solusi model dan menjelaskan interpretasi model 6) Melaukukan verifikasi model 7) Melakukan perbaikan model HASIL DAN PEMBAHASAAN Berikut ini akan dibahas aplikasi persamaan differensial pada pertumbuhan populasi penduduk, sehingga diperoleh suatu model pertumbuhan populasi dengan pertumb (...truncated)