Filozofia i logika intuicjonizmu

Semina Nr 14 Scientiarum 2015 s. 35–48 DOI: http://dx.doi.org/10.15633/ss.1077 Marlena Fila Filozofia i logika intuicjonizmu 1. Charakterystyka filozofii intuicjonistycznej Intuicjonizm to jeden z nurtów konstruktywistycznych w filo zofii matematyki powstały na przełomie XIX i XX wieku. Jego twór cą był Luitzen Egbertus Jan Brouwer – matematyk holenderski, a jednym z najważniejszych przedstawicieli Arend Heyting – uczeń Brouwera. Wśród prekursorów intuicjonizmu wymienić należy Kro neckera, Poincaré oraz Mannourry’ego – nauczyciela Brouwera1. Intuicjonizm powstał w odpowiedzi na kryzys, jaki pojawił się w podstawach matematyki wraz z odkryciem antynomii2 na grun cie teorii mnogości Georga Cantora. Źródło błędów w matematyce widział Brouwer w dowodach niepodających konstrukcji postulo wanych obiektów. Chcąc zaradzić groźbie sprzeczności w matema tyce, odrzucił wszelkie dowody niekonstruktywne logiki klasycznej. Podważył też prawo wyłączonego środka i prawo podwójnego prze 1 Więcej o początkach nurtu intuicjonistycznego przeczytać można w: M. Fila, Prądy konstruktywistyczne w filozofii matematyki, praca magisterska napisana w Zakładzie Logiki Matematycznej Uniwersytetu im. A. Mickiewicza w Poznaniu pod kierunkiem prof. dra hab. R. Murawskiego oraz w: R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Warszawa 1995, s. 67–72, 83–136. 2 Antynomie – pary zdań wzajemnie sprzecznych w równym stopniu zasłu gujące na przyjęcie. Najbardziej znane to antynomia Russella, antynomia zbioru wszystkich liczb kardynalnych, zbioru wszystkich liczb równolicznych z danym zbiorem czy – znane już Cantorowi – antynomia zbioru wszystkich zbiorów, zbioru wszystkich liczb porządkowych oraz antynomia zbioru podzbiorów danego zbioru. 36 Marlena Fila czenia; krytykował aksjomat wyboru – był on dla niego jaskrawym przykładem postulowania istnienia zbioru, którego myśl nie jest na ogół w stanie określić. Swe poglądy najpełniej wyraził Brouwer w swojej dysertacji dok torskiej z roku 1907 Over de Grondlagen der Wiskunde oraz w wy kładzie wygłoszonym pięć lat później z okazji objęcia stanowiska profesora na Uniwersytecie w Amsterdamie3. W swoim spojrzeniu na matematykę nawiązywał Brouwer do Arystotelesa i Euklidesa – matematyka była dla niego nauką wypo sażoną w określoną treść. Odrzucał jednak metodę aksjomatyczną jako metodę budowania i ugruntowywania matematyki. Jego zda niem nie można tylko postulować istnienia obiektów matematycz nych, trzeba je uprzednio skonstruować. Owe konstrukcje matema tyczne są jego zdaniem niezależne od języka. Matematyka znajduje się w umyśle ludzkim, nie na papierze, a język służy matematykowi tylko do komunikowania myśli i błędem jest go analizować. Bardzo dużo jest w filozofii Brouwera nawiązań do myśli Kanta. Za Kantem powtarzał Brouwer, że umysł ludzki bezpośrednio uj muje przedmioty matematyki i formułuje o nich sądy syntetyczne a priori. Zdaniem Brouwera u podstaw matematyki leży fundamen talna definicja apriorystycznego czasu. Kant mówił o aprioryczno ści czasu i przestrzeni, jednak odkrycie geometrii nieeuklideso wych zmusiło Brouwera do odrzucenia aprioryczności przestrzeni. Dla Brouwera matematyka była funkcją intelektu ludzkiego i wolną życiową aktywnością rozumu; wytworem umysłu ludzkiego, a nie teorią, systemem reguł i twierdzeń. Twierdzenia arytmetyki były dla Brouwera sądami syntetycznymi a priori, a obiekty mate matyczne były konstrukcjami myślowymi (idealnego) matematy ka. Przeciwstawiał się więc platonizmowi, który przypisuje obiek tom matematycznym istnienie niezależnie od czasu, przestrzeni i poznającego podmiotu. Przeciwny był też formalizmowi – ścisłość, jego zdaniem, powinna być ugruntowana w umyśle ludzkim, a nie na papierze. 3 Chodzi o wykład z 1912 roku pt. Intuitionisme en formalisme, [w:] Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych, R. Murawski, Poznań 1994, s. 263–275. Filozofia i logika intuicjonizmu 37 W konsekwencji musiał Brouwer odrzucić logikę klasyczną, w której każde zdanie sensowne jest albo prawdziwe, albo fałszy we. Odrzucił także istnienie nieskończoności aktualnej. Argumen tował to faktem, że umysł nie może wykonać nieskończenie wielu konstrukcji. Dlatego zbiór nieskończony rozumiał jako ideę tworze nia wciąż nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak zawsze przeliczalny, dlatego nie ma – zdaniem Brouwera – zbiorów nie przeliczalnych ani liczb kardynalnych innych niż alef zero. Zamierzeniem Brouwera była rekonstrukcja matematyki na ba zie zasad intuicjonistycznych. Po 1912 roku dokonał rewizji pojęcia kontinuum, a po 1923 roku rekonstrukcji części teorii zbiorów punk towych, teorii funkcji; rozwinął teorię przeliczalnych dobrych po rządków i – wraz ze swoim studentem B. de Loorem – podał intuicjo nistyczny dowód zasadniczego twierdzenia algebry. Po 1928 roku dzieło kontynuowali jego uczniowie: Belinfante i Arend Heyting, M. Joost4, a potem uczniowie Heytinga. 2. Logika intuicjonistyczna Heytinga Poglądy Brouwera budziły zainteresowanie nie tylko wśród matematyków, lecz także wśród logików. Opisu logiki zgodnej z intuicjonistycznym stanowiskiem Brouwera dostarczył Arend Heyting w pracy z roku 1930 Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. To właśnie Heytingowi – uczniowi Brouwera – za wdzięczamy sprecyzowanie intuicjonistycznych sposobów wniosko wania przez aksjomatyzację intuicjonistycznego rachunku zdań i rachunku kwantyfikatorów. Jego praca była pierwszą prezenta cją intuicjonizmu wolną od niejasności i wieloznaczności; napisaną w języku zrozumiałym dla ogółu logików i matematyków. Umożli wiała porównanie logiki klasycznej i logiki intuicjonistycznej. 4 Belinfante Heyting: intuicjonistyczna teoria funkcji zespolonych, Arend Heyting: intuicjonistyczna geometria rzutowa i algebra, logika intuicjonistyczna; uczniowie Heytinga: intuicjonistyczna topologia, teoria mocy, teoria przestrzeni Hilberta i geometria afiniczna. Marlena Fila 38 Sam Brouwer miał jednak bardzo sceptyczny stosunek zarówno do stworzonego przez Heytinga systemu, jak i do samych prób ko dyfikacji logiki intuicjonistycznej. Jego negatywne podejście wyni kało m.in. z poglądów dotyczących używanego przez matematyków języka. Jak już wspomniano w paragrafie wyżej, matematyka była dla Brouwera wolną aktywnością rozumu, a język służył matema tykowi tylko do komunikowania myśli. Jakiekolwiek przedstawie nie procesów myślowych w języku logiki symbolicznej jest nieade kwatne, ponieważ nie jest możliwe wyczerpanie ogółu wszystkich procesów myślowych, które mogą być traktowane jako uprawnione. Język logiki symbolicznej ma bowiem charakter statyczny i nie jest w stanie opisać dynamicznej i nigdy nie zamkniętej dziedziny ma tematycznej działalności człowieka. W intuicjonistycznej logice Heytinga podstawą jest jedenaście aksjomatów: 1. Prawo tautologii p → p ˄ p; 2. Prawo przemienności dla iloczynu p ˄ q → q ˄ p; 3. Prawo czynnika (obie strony implikacji można pomnożyć przez dowolny czynnik) (p → q) → (p ˄ r → q ˄ r); 4. Prawo sylogizmu [ (...truncated)