Use matrices and counts in calculations of electrical systems

УДК 621.332.3: 621.315.66 О. М. ПОЛЯХ (ДІІТ) ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ ТА ГРАФІВ ДО РОЗРАХУНКІВ СИСТЕМ ЕЛЕКТРОПОСТАЧАННЯ Викладається метод розрахунку електропостачання складно-замкнутих електричних мереж. Математичний опис системи базується на застосуванні графів та матриць. Ключові слова: метод розрахунку, електричні мережі, система застосування графів і матриць, струм, напруга Вступ З усього обсягу електроенергії переробленої в України тяговими підстанціями, близько 40 % реалізовано для живлення нетягових споживачів, це є суттєво в роботі електрифікованих залізниць. При виборі методів розрахунку систем електропостачання приходиться знаходити компроміс між точністю та трудомісткістю розрахунків. Перше обмежується похибкою математичної моделі або методу розрахунку та похибкою вхідних даних. Якщо похибка методу буде на порядок нижчою за похибку вхідних даних, тоді вона практично не впливає на точність результатів. В свою чергу низька точність вхідних даних на стадії проектування обумовлена великою похибкою прогнозу обсягу та складу перевезень. В процесі експлуатації параметри режимів уточнюються, перевіряються за необхідності розв’язуються задачі оптимізації параметрів схем. При цьому точність розрахункових методів повинна бути в кілька разів вищою, ніж за проектування. Будь-якої електроенергетичної системи її стан описується в усталеному режимі складними комплексними рівняннями, у перехідному диференційними. Електричні мережі (живлячі, розподільчі) мають складну конфігурацію, високий рівень розгалуження. Для опису стану таких мереж за допомогою рівнянь Кірхгофа, методами контурних струмів чи вузлових потенціалів громіздка задача. Застосування теорії графів та положень алгебри матриць дозволяє розв’язувати такі задачі такого високого порядку складності [1-6]. Матричні рівняння рівноваги системи виражають кількісні співвідношення між її змінними, а топологія схеми підказує на фундаментальні зв’язки в системі та дозволяє виконати ряд спрощень еквівалентної схеми. З теорії графів розрізняють два види графів: - графи поширення сигналу; - лінійні або структурні графи [7,8]. Розробити загальні формальні методи отримання рівнянь енергетичної системи дозволяє теорія лінійних графів не залежно від її складності. А застосування матричних рівнянь дозволяє розв’язання їх як для лінійних, так і нелінійних систем. За допомогою ітераційних методів розв’язуються нелінійні матричні рівняння [1]. Основна частина Тягова система електропостачання (СЕП) представляє собою багатомірну стохастичну нелінійну систему. Для розрахунку її параметрів можна використати розрахунки кіл в усталеному режимі [3] . Найбільш точні математичні моделі системи електротяги створюються при спільному розгляду СЕП та електрорухомого складу (ЕРС). Схема заміщення ЕРС у цьому випадку буде у вигляді проти-ЕРС із послідовно ввімкненими опорами та паралельно ввімкненими провідностями які характеризують потужності втрат, пропорційні квадрату струму чи напруги, відповідно. Аналогічно заміщуються тягові підстанції. При такому підході зручним методом розрахунку виявляється метод вузлових потенціалів. Заступну схему ЕРС подаємо у вигляді джерела живлення струму. Така складна система електричної тяги розраховується у два етапи: режим ЕРС з наближеним урахуванням параметрів СЕП; - режими СЕП при заданих струмах параметрах ЕРС. Якщо навантаження СЕП задані у вигляді джерела струмів, то зручним методом розрахунку виявляється метод контурних струмів. Стан будь-якого електричного кола описується рівняннями Кірхгофа, що в матричній формі мають вигляд: ⎡⎣ M ⎤⎦ ⎡⎣iв ⎤⎦ = 0 ⎫ ⎪ (1) ⎬, ⎡⎣ N ⎤⎦ ⎡⎣uв ⎤⎦ = 0⎪ ⎭ © О. М. Полях, 2012 133 де: ⎡⎣ M ⎤⎦ – матриця інциденцій (з’єднань) вузлів; ⎡⎣ N ⎤⎦ – матриця інциденцій контурів; ⎡⎣iв ⎤⎦ – вектор-стовпець шуканих струмів усіх nв віток; [uв ] – вектор-стовпець напруг віток. Кожна вітка може складатися із трьох пасивних елементів: резистора R, індуктивності L та ємності С. Рівняння такого кола можна записати у вигляді: u j =u +u +u +ej , (2) Rj Lj Cj де: e j – ЕРС j- ї вітки. Розташувавши напруги віток у стовпець, на основі виразу ( 2.2 ) запишемо: ⎡ di ⎤ [uв ] = ⎡⎣ Rв ⎤⎦ ⎡⎣iв ⎤⎦ + ⎡⎣ Lв ⎤⎦ ⎢ в ⎥ + ⎣ dt ⎦ (3) ⎡ 1 ⎤t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∫ ⎡⎣iв ⎤⎦dt + ⎣uCв (0) ⎦ + [eв ] , ⎣ Св ⎦ 0 де ⎡ R 0000 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 R 000 ⎥ ⎢ 2 ⎥ [ Rв ] = ⎢ 00 R 00 ⎥ ; 3 ⎢ ⎥ ⎢................ ⎥ ⎢ ⎥ 00000 Rnв ⎥ ⎣⎢ ⎦ ⎡ L , L ,....L ⎤ 1nв ⎢ 11 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L21, L22 ,....L2nв ⎥ ⎡⎣ Lв ⎤⎦ = ⎢ ⎥; ⎢....................... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢L ⎥ ⎢⎣ nв1, Lnв2 ,....Lnвnв ⎥⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎢ C 0000 ⎥ ⎢ в1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ 000 ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎢0 ⎥. ⎢ ⎥ = ⎢ Cв2 ⎣ Cв ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢0000 ⎥ Cnв ⎦⎥ ⎣⎢ В цих матрицях R1,...,Rnв – опори віток; 1 1 ,…, – зворотні ємності віток; C Cn в в1 L11....L1nв – власні та взаємні індуктивності 134 віток. Операції диференціювання та інтегрування до кожного елемента вектора ⎡⎣iв ⎤⎦ . Прямий розв’язок системи (3) можна замінити розв’язком меншої розмірності з наступною операцією множення матриці на вектор. В методі контурних струмів розв’язується система ⎡⎣ N ⎤⎦ ⋅ [uв ] = 0 . (4) Як незалежні змінні приймаються контурні струми, вектор яких ⎡i ⎤ зв’язаний з вектором ⎣⎢ k ⎦⎥ ⎡⎣iв ⎤⎦ контурним перетворенням ⎣⎡iв ⎦⎤ = ⎡⎣ N ⎤⎦ ⎡i ⎤ . T ⎣ k⎦ (5) Індекс « Т » визначає операцію транспонування. Підставляючи вирази (4) і (5) в систему (3), отримаємо ⎡ di ⎤ ⎡ 1 ⎤ t ⎡⎣ R ⎤⎦ ⎡i ⎤ + ⎡⎣ L ⎤⎦ ⎢ k ⎥ + ⎢ ⎥ ∫ ⎡i ⎤ dt + ⎢⎣ k ⎥⎦ ⎢ dt ⎥ ⎣ C ⎦ 0 ⎢⎣ k ⎥⎦ (6) ⎣ ⎦ ⎡⎣ N ⎤⎦ ⋅ ⎡u (0) + eв ⎤ = 0, ⎣ Cв ⎦ де: ⎡⎣ R ⎤⎦ = ⎡⎣ N ⎤⎦ ⎡⎣ Rв ⎤⎦ ⎡⎣ N ⎤⎦ T ; ⎡⎣ L ⎤⎦ = ⎡⎣ N ⎤⎦ ⎡⎣ Lв ⎤⎦ ⎡⎣ N ⎤⎦ ; T ⎡ 1 ⎤ ⎡1⎤ (7) ⎥ ⎡⎣ N ⎤⎦ T . ⎢ ⎥ = ⎡⎣ N ⎤⎦ ⎢ ⎣C ⎦ ⎣ Cв ⎦ Справедливість контурного перетворення витікає з фундаментального співвідношення ⎡⎣ M ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ N ⎤⎦ = 0 , (8) T у якому використовуються матриці ⎡⎣ M ⎤⎦ і ⎡⎣ N ⎤⎦ одного й того ж кола. Обчислення матриці суттєво спрощується, якщо складати матриці в блочному вигляді [3]. Приймемо наступний порядок нумерації віток (індексації блоків): 1) хорди – розрахункові вітки СЕП; 2) хорди – вітки навантаження; 3) вітки дерева – решта віток СЕП. За такої індексації контуру матриця ⎡⎣ N ⎤⎦ набуде вигляду: ⎡ E ,O , N ⎤ ⎢ 11 11 13 ⎥ ⎡⎣ N ⎤⎦ = ⎢ ⎥, O , E , N ⎢⎣ 21 22 23 ⎥⎦ (9) де: ⎡ E ⎤ , ⎡O ⎤ – одиничні та нульові мат⎣ nm ⎦ ⎣ nm ⎦ риці, розмірності яких визначені індексами. Тоді подамо матрицю опорів віток у блочному вигляді ⎡ R ,O ,O ⎤ ⎢ 11 12 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡⎣ Rв ⎤⎦ = ⎢O , R , O ⎥ . 21 22 23 ⎢ ⎥ ⎢O , O , R ⎥ ⎣ 31 32 33 ⎦ Матриця опорів контурів на основі першого виразу (7) запишеться ⎤ ⎡R , R ⎤ ⎡R + N R N ,N 13 33 T13 13 11 12 ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ ⎡⎣ R ⎤⎦ = ⎢ (10) ⎥ ⎥=⎢ R , R N R N , R N R N + ⎢⎣ 21 22 ⎥⎦ ⎢⎣ 23 33 T23 22 23 33 T23 ⎥⎦ Аналогічно вирази отримаємо для блоків матриці ⎡⎣ X ⎤⎦ , якщо її вітки магнітно розв’язані. Для магнітно зв’язаних віток з урахуванням прийнятої індексації запишемо ⎡ L + N13 L31 + ( L13 N13 L33 ) NT 13 ,( L13 + N13 L13 ) NT 23 ⎤ ⎡ X ⎤ = ω ⎢ 11 ⎥ .(11) ⎣ L⎦ ⎢⎣ N 23 L31 + N 23 , L33 NT 13 , L22 + N 23 L33 NT 23 ⎥⎦ [Y] [U∆] = [J], (13) Знайдені матриці [ R11 ] , [ R12 ] , [ X 11 ] , [ X 12 ] – матриця вузлових провідностей; [U де [ (...truncated)