Parametric vibrations of piezoelectric viscoelastic cylindrical panels taking into account transverse shear deformations

Секція Сучасні проблеми механіки деформівного твердого тіла УДК 539.3 Параметричні коливання п’єзоелектричних в’язкопружних циліндричних панелей з урахуванням деформацій поперечного зсуву Козлов В.І., Зінчук Л.П. Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАНУ, м. Київ, Україна Анотація. У роботі представлено чисельно-аналітичний підхід до розв’язання задач про параметричні коливання шаруватих шарнірно закріплених п’єзоелектричних в’язкопружних циліндричних панелей при електромеханічному гармонічному навантаженні. Математичну модель побудовано з використанням механічних гіпотез про пошарову апроксимацію деформацій зсуву квадратичними функціями по товщині панелі, які доповнено адекватними гіпотезами щодо розподілу електричних польових величин, коли відмінними від нуля є компоненти вектора напруженості електричного поля та нормальна складова вектора електричної індукції. Дисипативні властивості матеріалів враховуються на основі теорії лінійної в’язкоелектропружності. Для розв’язання поставлених задач розроблено методику, що ґрунтується на використанні варіаційного принципу та представленні шуканих величин у вигляді розкладу у подвійні тригонометричні ряди. Це дає можливість звести розглянуті задачі до рівнянь типу Матьє-Хілла з врахуванням дисипації енергії, які розв’язуються методом гармонічної лінеаризації, що дозволяє визначити межі областей динамічної нестійкості. Ключові слова: в’язкоелектропружна циліндрична панель; деформації поперечного зсуву; параметричні коливання; дисипація енергії; області динамічної нестійкості. У різноманітних технічних галузях знаходять широке застосування тонкостінні конструктивні елементи із композиційних матеріалів, зокрема до складу яких входять і п’єзоелектричні складові. Такі елементи є досить чутливими до різних навантажень, що змінюються в часі. Як відомо, в таких елементах конструкцій періодичні навантаження у серединній площині можуть викликати поперечні коливання, які в свою чергу можуть призвести до параметричного резонансу при певній комбінації параметрів зовнішнього навантаження та власної частоти поперечних коливань. Розглянемо в загальному випадку тришарову циліндричну оболонку з товщиною H = h1 + h2 + h3 , складену з трансверсально-ізотропних в’язкопружних п’єзоелектричних шарів з товщинною поляризацією. Оболонка віднесена до криволінійної ортогональної системи координат (s, θ , z ) . Як базисну, вибираємо серединну поверхню внутрішнього шару оболонки. Приймається σ zz = 0 і квадратичний закон зміни зсувних деформацій ε sz і ε θz в межах кожного шару [1]. При цьому зсувні напруження σ zs , σ θz повинні задовольняти умовам контакту між шарами. Меридіан базисної поверхні описується рівнянням r = r ( x ) , де x відраховується вздовж осі обертання. На п’єзоелектричних поверхнях z = a0 , a1 , a2 , a3 нанесено суцільні або дискретні електродні покриття, на яких задаються відповідні значення потенціалів ϕ0 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ3 . Для моделювання електромеханічної поведінки матеріалів використовується концепція комплексних характеристик [2]. Спрощені визначальні рівняння одержуємо на основі вказаних вище уточнених механічних гіпотез, доповнених адекватними їм гіпотезами про розподіл по товщині електричних польових величин, коли вважається, що відмінними від нуля є компоненти вектора напруженості електричного поля E z , Es , Eθ і нормальна складова електричної індукції ( D z ≠ 0 , Ds = 0 , Dθ = 0 ). При цьому спрощені рівняння стану для k -го шару приймають вигляд ÔÎÐÓÌ ²ÍÆÅÍÅв ÌÅÕÀͲʲ 33 XXII МНТК “Прогресивна техніка, технологія та інженерна освіта”, 2021 σ ss( k ) = B11( k )ε ss( k ) + B12( k )ε θθ( k ) − γ 11( k ) E z( k ) , σ θθ( k ) = B12( k )ε ss( k ) + B11( k )ε θθ( k ) − γ 11( k ) E z( k ) , σ s(θk ) = 2G12( k )ε s(θk ) , (k ) (k ) ε θz , Dz( k ) = γ 33( k ) E z( k ) + γ 11( k ) (ε ss( k ) + ε θθ( k ) ), σ sz( k ) = 2G13( k )ε sz( k ) , σ θ( kz) = 2G23 де B11( k ) = c11E ( k ) − (c13E ( k ) ) 2 c33E ( k ) , B12( k ) = c12E ( k ) − (c13E ( k ) ) 2 c33E ( k ) , (1) γ 11( k ) = e13( k ) − c13E ( k ) e33( k ) c33E ( k ) , E (k ) γ 33( k ) = μ 33S ( k ) + ( e33( k ) ) 2 c33E ( k ) , G12( k ) = c11E ( k ) − c12E ( k ) , G13( k ) = G23( k ) = c44E ( k ) + (e15( k ) ) 2 μ11S ( k ) , а cij , eij(k ) – відповідно в’язкопружні та п’єзоелектричні модулі, а μijS – діелектричні проникливості k -го п’єзоелектричного шару [2, 3]. Якщо середній шар ( k = 2 ) пасивний, то eij( 2) = 0 . У рівняннях стану (1) зсувні напруження апроксимуються квадратичними функціями по координаті z . Відповідно до теорії, представленої в [1], в кожному шарі вони можуть бути записані у вигляді: σ sz( k ) = σ s(3k ) = G13( k ) u1 (s, θ ) q ( k ) ( z ) , σ θ(zk ) = σ θ( k3) = G13( k ) v1 (s, θ ) q ( k ) ( z ) , (k = 1,2,3) . Функції u1 (s, θ ) , v1 (s , θ ) знаходяться з розв’язку задачі для всього пакету шарів, а (k ) σ sz = σ 13( k ) , σ θ( k3) = σ 23( k ) знаходяться шляхом інтегрування рівнянь рівноваги. Поперечні зсувні деформації для кожного шару знаходяться з рівнянь стану (1) 1 1 (2) ε sz( k ) = ε 13( k ) = u1 (s, θ ) q ( k ) ( z ) , ε θ(zk ) = ε 23( k ) = ν 1 (s, θ ) q ( k ) ( z ) . 2 2 В подальшому будемо розглядати такі оболонки, для яких можна знехтувати z R у порівнянні з 1 ( R – радіус циліндричної оболонки). У цьому випадку, наприклад, для тришарової оболонки симетричної будови, коли B11(1) = B11(3) , G13(1) = G13( 3) , G23(1) = G23( 3) , a3 = −a0 , a 2 = − a1 , апроксимуючі функції q ( k ) ( z ) (k = 1,2,3) можна записати у вигляді: q (1) ( z ) = 2 2 B11(1)  z 2  ( 3) B11( 2 )  a1 z 2 B11(1)  a1   (1) ( 2)   1 − ( ) ( ) q z = q z ( ) , , q z = − + 1 − . 2G13(1)  a0 2  2G13( 2 )  a0 2 a0 2 B11( 2 )  a0 2   Використовуючи співвідношення Коші, після інтегрування виразів (2) по товщині компоненти вектора зміщень запишемо у вигляді: ∂w 1 ∂w (3) u ( k ) = u0 − z + u1 f ( k ) (z ) , v ( k ) = v0 − z + v1 f ( k ) ( z ) , ∂s r ∂θ де u0 , v0 – тангенціальні зміщення базової поверхні z = 0 , w – нормальний прогин оболонки, а функції f ( k ) (z ) наведено в [3]. З використанням залежностей (3) і співвідношень Коші знаходяться компоненти тензора деформацій k -го шару відповідно до нелінійної теорії тонкостінних елементів Кармана [4]. На основі вказаних вище гіпотез відносно компонент вектора індукції також легко знайти представлення для D z [3]. Розв’язок задачі про коливання оболонки при дії на неї механічного і електричного навантаження знаходиться з використанням тривимірного варіаційного рівняння [2,3] δΕ = 0 , Ε=  ∂ 2 ui ∂u  1 s  − − + c ε ε 2 e E ε μ E E ρ ui + ζ i ui dV −  Pi ui ds , (4) ijkl ij kl ijk i jk ij i j 2   ∂t ∂t  2 V  S де Pi – компоненти вектора поверхневого навантаження, ρ – густина матеріалу, ζ – коефіцієнт демпфування, який обчислюється через комплексні характеристики в’язкоелектропружного матеріалу. 34 ÔÎÐÓÌ ²ÍÆÅÍÅв ÌÅÕÀͲʲ Секція Сучасні проблеми механіки деформівного твердого тіла Розглянемо задачу про параметричні коливання тришарової циліндричної панелі радіуса R з ша (...truncated)