Auto-organização e complexidade: o problema do desenvolvimento do ciclo vigília-sono

Auto-organização e complexidade: o problema do desenvolvimento do ciclo vigília-sono JOSÉ ROBERTO CASTILHO PIQUEIRA e ANA AMÉLIA BENEDITO-SILVA O S CONCEITOS DE auto-organização e complexidade têm, nos últimos anos, sido objeto de estudo nos mais diversos ramos da ciência e relacionados a uma grande diversidade de sistemas: físicos, biológicos, comportamentais, sociais, políticos, econômicos e culturais (Coveney & Highfield, 1995). Dentro desse panorama, interessa-nos o trabalho sobre sistemas biológicos e, principalmente, a tentativa de estabelecer relações entre conceitos da Matemática e da Física e os fenômenos biológicos, enfatizando processos e suas explanações, em vez privilegiar resultados e classificações (Gould, 1977). Nesse sentido, um artigo sobre o assunto proposto por Piqueira (1992) apresentou uma tentativa de definir organização de um sistema por meio do conceito de medida entrópica de um sistema dinâmico. A idéia de aplicar a Teoria de Sistemas Dinâmicos a problemas biológicos sempre nos pareceu interessante, principalmente levando-se em conta a possibilidade de incluir dinâmicas, em escalas temporais diferentes, gerando as idéias de dinâmicas rápidas, lentas e intermediárias. Embora passível de muitas críticas, o referido artigo suscitou debates proveitosos que redundaram em um segundo (Piqueira, 1994), explorando a associação das idéias de complexidade e o conceito de entropia informacional (Shannon & Weaver, 1949). Ambos os artigos têm norteado nosso trabalho de análise de experimentos biológicos, proporcionando-nos indícios do tipo de contribuição que a Matemática pode dar à Biologia. A tentativa de entender complexidade e auto-organização levou-nos à leitura de algumas obras clássicas da Biologia (Darwin, 1859; 1871) as quais, dada a nossa pobre formação no assunto, geraram grande dificuldade e a consciência da necessidade de outra vida para o início de um melhor entendimento da Teoria da Evolução, fundamento básico da Biologia moderna. Felizmente tivemos acesso a um livro que, dada sua clareza e qualidade científica, está nos ajudando bastante na tarefa que temos em mente (Dawkins, 1986) e, acreditamos, ter encontrado algumas idéias de Biologia Evolutiva que nos pareceram passíveis de formalização mediante conceitos originários da Matemática. ESTUDOS AVANÇADOS 12 (33), 1998 197 É disso que pretendemos tratar. Discutiremos os pontos relativos às condições necessárias para caracterizar complexidade biológica e auto-organização indicados por Dawkins, procurando lhes dar o formalismo matemático que nos for possível. Todas as interpretações feitas a seguir são de nossa inteira responsabilidade. Caso alguma idéia esteja incorreta, a origem não foi o texto de Dawkins, mas a nossa provável incompreensão desses conceitos. Trataremos inicialmente da definição de complexidade, levando em conta que, na linguagem coloquial, o termo significa algo difícil de ser descrito,compreendido, montado ou concebido. Com tais idéias em mente, tentaremos definir complexidade por meio de seus atributos essenciais: decomposição, heterogeneidade, autoorganização e adequação. Finalizaremos com um problema de cronobiologia: o estudo do estabelecimento do ritmo circadiano, no ciclo vigília-sono de bebês, utilizando a medida da entropia informacional associada aos conjuntos de dados experimentais. Complexidade e heterogeneidade Nesta seção procuraremos estabelecer os fundamentos teóricos da primeira condição necessária estabelecida por Dawkins, para considerar que um dado sistema é complexo. Essa condição, a heterogeneidade, parte da hipótese que um sistema é composto por partes as quais, se vistas isoladamente, não dão uma perspectiva do todo. Aproveitaremos o exemplo de Dawkins: duas metades de um carro não formam necessariamente um carro quando justapostas, superpostas ou combinadas. Um sistema complexo é passível de decomposições sucessivas sem que nenhuma delas, isolada, traduza o comportamento do sistema. A tentativa de colocação desse conceito, em linguagem matemática, deve ser iniciada pela suposição de que o sistema em apreço, embora complexo, seja passível de modelagem por meio de variáveis de estado as quais, uma vez conhecidas, descrevam o sistema de maneira satisfatória (Piqueira, 1994; Mainzer, 1994). A seguir consideraremos que determinado sistema pode ser decomposto em m partes, cada uma delas passível de descrição por variáveis de estado. A cada uma das partes estarão associadas ni variáveis de estado, com i assumindo valores entre 1 e m. De acordo com esse critério de indexação, a variável de estado xi, j será a j-ésima variável de estado, relativa à i-ésima parte do sistema, com o índice i assumindo valores de 1 até m e o índice j assumindo valores de 1 até ni. Assim, a cada i-ésima parte do sistema estarão associadas ni variáveis de estado. Do exposto, é possível concluir que o número total de variáveis de estado do sistema em questão será dado por: 198 ESTUDOS AVANÇADOS 12 (33), 1998 m N = Σ ni (1) i =1 Conforme discutido por Piqueira (1994), esse número pode expressar o grau de complexidade estrutural de um sistema, uma vez que se relaciona com a dimensão do espaço de estados necessária para descrever o sistema. Para expressar a heterogeneidade e a emergência de sistemas qualitativamente diferentes das combinações de suas partes, consideraremos que as equações dinâmicas de uma certa i-ésima parte isolada são dependentes, exclusivamente, das ni variáveis de estado relativas a essa parte, de seus parâmetros constitutivos e do tempo (von Bertalanffy, 1968). Matematicamente, as equações dinâmicas relativas às variáveis de estado e suas taxas de variação são expressas como dependentes das variáveis xi ,j , fixando-se i e variando-se j, de 1 até ni. Além disso, entram nas equações li parâmetros constitutivos λi,k e a variável temporal t. ni li ni Chamando de Fi cada uma das aplicações do tipo Fi : R x R x R R , cada uma das i partes do sistema será descrita por ni equações dinâmicas do tipo: • x i , j = F i (xi ,1 ,xi , 2 ,....., xi , ni ; λi , 1 , λi , 2 ,......, λi , li ; t) (2) O ponto colocado sobre xi,j indica a derivada temporal dessa variável e as equações, na forma apresentada em (2), relacionam-se com a evolução dinâmica das partes do sistema quando consideradas isoladamente. O fato de o sistema ser complexo implica alterações na forma dessas equações, originárias da reorganização das partes integradas, formando o sistema como um todo. Ao tentar expressar o fato por um formalismo matemático, definiremos algumas variáveis e parâmetros de maneira vetorial com o intuito de compactar a notação. Chamaremos de Xi a variável vetorial de dimensão ni, cujas componentes serão as variáveis xi,j, com j variando de 1 até ni. Da mesma maneira, chamaremos Γi o vetor de dimensão li, relativo aos parâmetros constitutivos da i-ésima parte do sistema tendo, portanto, componentes λi,k, com k variando de 1 até li. De acordo com a notação estabelecida, q (...truncated)