Tareas con diversas soluciones: estructura conceptual en profesores de matemáticas

Vol. 19, Núm. 1, 2017 Tareas con diversas soluciones: estructura conceptual en profesores de matemáticas Multiple-Solutions Tasks: Mathematics Teachers’ Conceptual Structure Fernando Barrera-Mora (*) Aarón Víctor Reyes-Rodríguez (*) (*) Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (Recibido: 6 de noviembre de 2014; Aceptado para su publicación: 26 de octubre de 2015) Cómo citar: Barrera-Mora, F. y Reyes-Rodríguez, A. V. (2017). Tareas con diversas soluciones, estructura conceptual en profesores de matemáticas. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 19(1), 110-122. Recuperado de http://redie.uabc.mx/redie/article/view/971 Resumen En el artículo se analizan las diferentes soluciones que un grupo de 15 profesores de matemáticas propuso para resolver un problema rutinario de aritmética, con el objetivo de identificar qué elementos específicos puede aportar el uso de tareas con múltiples soluciones para la formación y actualización docente. La posición teórica que sustenta este trabajo tiene como elemento fundamental la identificación y discusión de rutas de solución para fortalecer el conocimiento matemático y didáctico de los profesores, y favorecer el desarrollo de una postura crítica respecto a su práctica profesional. Palabras clave: Procesos de aprendizaje, resolución de problemas, formación de profesores. Abstract This paper analyzes the different solutions proposed by a group of 15 mathematics teachers to a routine arithmetic problem, with the aim of identifying the contribution provided by multiplesolution tasks in the training and continuing education of teachers. The theoretical background of this work is based on the identification and discussion of solution routes to strengthen teachers’ knowledge of mathematics and didactics, in addition to promoting a critical approach to their professional practice. Keywords: Learning processes, problem solving, teacher education. Tareas con diversas soluciones, estructura conceptual en profesores de matemáticas Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez I. Introducción La forma en que los profesores conceptualizan a las matemáticas y su aprendizaje determina el tipo de actividades que emplean en el aula, así como los medios o mecanismos de evaluación. Por otra parte, las actividades o tareas moldean las características del conocimiento que los estudiantes construyen (Stein y Smith, 1998; Silver, Ghousseini, Gosen, Charalambous y FontStrawhun, 2005), al influir en la estructuración de sus formas de pensar y su visión de lo que significa hacer matemáticas (Henningsen y Stein, 1997). Las aproximaciones didácticas tradicionales generalmente enfatizan la memorización y el desarrollo de habilidades algorítmicas y procedimentales; sin embargo, en las últimas décadas se ha intentado promover una aproximación dinámica y exploratoria de las matemáticas (Romberg, 1994) que conlleva conceptualizar el aprendizaje como una actividad durante la cual los estudiantes tienen oportunidades para discutir y defender sus ideas, formular y justificar conjeturas, establecer conexiones entre conceptos, y explorar relaciones, comunicar resultados y diseñar sus propios problemas. Esto va acorde con los principios del pensamiento matemático que impulsan el desarrollo de la disciplina (National Council of Teacher of Mathematics, 2000; Santos-Trigo, 2007). Desde esta perspectiva dinámica, una de las metas del proceso de instrucción es que los estudiantes entiendan las ideas matemáticas, lo que incluye dar sentido y significado a los conceptos, así como desarrollar habilidades para implementar algoritmos y procedimientos. Durante el aprendizaje de una técnica existen componentes que contribuyen al entendimiento de los conceptos involucrados en ella, y a su vez la actividad teórico-conceptual es parte integral del proceso de actualización de los procedimientos, incluso de aquellos que se han automatizado (Kieran, 2013). El entendimiento es importante, ya que entender un concepto, idea o resultado, podemos usarlo de manera flexible, adaptarlo para enfrentar situaciones problemáticas y emplearlo como base para aprender cosas nuevas (Hiebert et al., 1997). El entendimiento es una idea compleja, en constante cambio y crecimiento, y por tal razón existen diversos grados de “dominio” de un conocimiento, aun con respecto a hechos simples (Schoenfeld, 1985). Por ejemplo, un nivel 2 2 2 básico de entendimiento de la ecuación a +b =c (ecuación de Pitágoras) pudiera consistir en identificar que se trata de una ecuación cuadrática en tres variables; otro nivel de entendimiento incluye encontrar triadas de números enteros que la satisfacen, por ejemplo (3, 4, 5) y (6, 8, 10). Otro nivel más avanzado pudiera requerir encontrar un método para generar triadas pitagóricas, darle un sentido geométrico a la ecuación o llegar incluso a su estudio en estructuras algebraicas que generalizan a los números enteros. En el presente trabajo se argumenta que entender algo significa determinar cómo ese algo se conecta y estructura con otros conocimientos al abordar y resolver problemas (Hiebert et al., 1997; Fennema y Romberg, 1999). Entre más conexiones relevantes puedan establecerse y justificarse entre una idea y otros conocimientos previos, se tendrá un mayor nivel de entendimiento de esa idea. En este contexto, las tareas con múltiples soluciones (TMS) (Leikin, 2010), son una herramienta útil para explorar el proceso de construcción de niveles progresivos de entendimiento conceptual y de un pensamiento crítico (Leikin, 2014); así como el desarrollo de flexibilidad mental, representacional y estratégica (Santos-Trigo, 1996; Silver, 1997). Resolver problemas de diferentes formas es una herramienta efectiva para ensayar perspectivas o puntos de vista diversos, así como construir relaciones matemáticas que articulen, estructuren y unifiquen ideas, representaciones, procedimientos, heurísticas, resultados y principios matemáticos (Leikin, 2007; Polya, 1945). Abordar una tarea por diversas rutas, comparar soluciones y construir argumentos para sustentarlas, son medios para explorar la creatividad de los estudiantes (Silver, 1997; Leikin, 2007; Leikin y Lev, 2007; Leikin y Levav-Waynberg, 2007), al mismo tiempo que constituyen actividades Revista Electrónica de Investigación Educativa, Vol. 19, Núm. 1 / IIDE-UABC 111 Tareas con diversas soluciones, estructura conceptual en profesores de matemáticas Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez centrales del quehacer matemático que contribuyen al desarrollo de diferentes niveles de entendimiento (Polya, 1945; Ma, 2010). Al movilizar e integrar un amplio rango de representaciones, heurísticas, resultados, procedimientos y principios durante la construcción de diferentes soluciones, estos elementos se incorporan paulatinamente al repertorio de recursos de los estudiantes, favoreciendo la integración de redes de conocimientos estructurados (Silver et al., 2005; Ma, 2010). Para aprovechar las ventajas de las TMS como herramienta didáctica se requ (...truncated)