A sufficient condition for finite point range transport operator

Місця першого класу знаходяться на другому поверсі, вони найбільш комфортні й дорожче коштують. Висновок Розробка та впровадження швидкісного руху по всій території України дозволить залізничному транспорту підвищити відсоток пасажирських залізничних перевезень. Впровадження швидкісного руху на ділянках Київ Полтава - Харків; Київ - Донецьк; Київ - Дніпропетровськ; Київ - Одеса; Київ Львів; Харків - Запоріжжя - Сімферополь дозволить пасажирам скоротити час перебування в дорозі, в наслідок чого збільшиться відсоток користувачів залізничними послугами не тільки на час проведення ЄВРО-2012. Список літератури: 1. А.И.Скутин. Определение времени хода поездов с учетом состояния пути. Тр.ДИИТа, Днепропетровск, 1989 г. 2. Инструкция по техническому обслуживанию и эксплуатации сооружений, устройств, подвижного состава и организации движения на участке обращений пассажирских поездов со скоростью 140-200 км/ч. Цтех №42978 М.:1985. 3. Правила технічної експлуатації залізниць України (із змінами і доповненнями, внесеними наказом Міністерства транспорту України від 10 грудня 2003 року N 962), Київ: Міністерство транспорту України, 2010 4. Кочнев Ю.П. Пассажирские перевозки на железнодорожном транспорте. - М.: Транспорт, 1980. - 496 с. 5. http://uzdlines.narod.ru/nt/poezd161.htm Поступила в редколлегию 06.12.2011 УДК 517.983 Г.В. ІВАСИК , асис, НУ "Львівська політехніка", Львів ДОСТАТНЯ УМОВА СКІНЧЕННОСТІ ТОЧКОВОГО СПЕКТРУ ТРАНСПОРТНОГО ОПЕРАТОРА Встановлено, що транспортний оператор за деяких умов може мати тільки скінченний точковий спектр. Ключові слова: оператор, перетворення Фур'є, аналітичне продовження. Установлено, что транспортный оператор при некоторых условиях может иметь только конечный точечний спектр. Ключевые слова: оператор, превращение Фур'е, аналитическое продолжение. Abstract: It is proved that transport operator under certain conditions can have finite point spectrum only. Keywords: operator, spectrum, Fourier transformation, analytic extension. 1.Statement of the problem We consider partial case of so-called "equation of transmission". There is much literature concerning (during many years) different problems in this direction. One of such problems, namely the problem of neutron transport, leads to the operator Lf ( x, µ ) = −iµ 1 ∂f ( x, µ ) + c( x) ∫ f ( x, µ ′)dµ ′ ∂x −1 2 in the space L ( D ) , where D = R × [−1,1] . In [1] in the case 108 (1) c,  c( x) = 0,   x <a x > a, c = const it was obtained that continuous spectrum coincides with real axis R and that the set of eingen-values is finite. In [2] in the case c ∈ L∞ ( R), supp c ⊂ [−a, a], c( x) ≥ 0 well-known functional model is applied. In [3] the authors use Friedrichs' model to study the operator L . In the case of exponentialy decreasing potential the sufficient condition of finiteness of point spectrum was obtained. The methods of this work were used in [4] in more general case of the operator 1 Lf ( x, µ ) = −iµ ∂f ( x, µ ) + a( x) ∫ b( µ ′) f ( x, µ ′)dµ ′. ∂x (2) −1 As it was proved in [4] the value ζ = 0 only can be the point of accumulation of point spectrum of the operator L if the following conditions hold: a)the function a(x) is locally integrable and satisfies the estimate a( x) ≤ Me −ε x (3) , x ∈ R, where ε > 0, M > 0 are some constants. b)the function b(µ ), µ ∈ (−1,1) admits analytic extension b(z) into the circle z < 1 + ε . Note, that the resolvent admits analytic extension over (−∞,0) and (0, ∞) (see Theorem 1, Theorem 2 of [4] ). The aim of our article is to give sufficient condition on the functions a(x), b(µ ) such that the value ζ = 0 is not the point of accumulation of point spectrum. Then the point spectrum of the operator L is finite set. Like [3-4] we use unitary equivalence of the operator L to the operator of Friedrichs' model. 2.Friedrichs' model Here we give some notations and results from [4]. Let H be Hilbert space of the functions on two variables ϕ ( s, µ ), ( s, µ ) ∈ D = R × [−1;1] with norm 1 || ϕ || 2H = ∫ ∫ | ϕ ( s, µ ) |2 R −1 1 |µ| dsdµ and let G = L2 ( R) . We denote by (⋅,⋅), (⋅,⋅) H scalar product in the spaces G and H respectively. We denote by S : H → H the operator of multiplication by independent variable (Sϕ )(τ , µ ) ≡ τϕ (τ , µ ), τ ∈ R with maximal domain of definition. Using Fourier transformation it was proved in [4] that the operator L : L2 ( D) → L2 ( D) is unitary equivalent to the operator T = S + A* B : H → H with bounded operators A* : G → H , B : H → G under the form s − iy 1 µ dy, A c( s, µ ) = a ( y ) c ( y ) e 1 2π ∫ (4) 1  Bϕ ( x) = a 2 ( x) ∫e ixτ  ∫ b( µ ′)ϕ (τµ ′, µ ′)dµ ′ dτ .   R  −1  (5) * R and 109 We use the traditional form of perturbation A* B , that's why we don't need the operator A : H → G itself. The representations (4)-(5) contain the factors a1,2 ( x) of arbitrary factorization such that a ( x) = a1 ( x)a 2 ( x), a1 ( x) = a 2 ( x) . The relation between the resolvents Tζ = (T − ζ ) −1 and Sζ = (S − ζ ) −1 of the operators T and S is Tζ = Sζ − Sζ A* K (ζ ) −1 BSζ , where K (ζ ) = 1 + BSζ A* . 3. Estimate of the operator K (ζ ) −1 As it was proved in [4(Lemma 3.2, Lemma 3.3)] that (( K (ζ ) − 1) g )( x) = ∫ k ( x, y, ζ )g ( y )dy, k ( x, y, ζ ) = R 1 a2 ( x) a1 ( y ) I ( x − y , ζ ), where 2π ∞ 1 1 I (u , ζ ) = ∫ f −s ( u ) (t u ) dt − ∫ f s ( u ) (t u ) dt , s (u ) = sign(u ) and 0 t −ζ 0 t +ζ ∞ ∞  θ  1  θ  fω (θ ) = ∫ b e −iωy + b − eiωy  dy, ω = ±1.  y  θ y  y Concerning the function fω (θ ) it was obtained the a estimate fω (θ ) < a1 ln θ + a2 , 0 < θ < 1 and fω (θ ) < , θ > 1 , where a1 , a2 , a are some constants θ with respect to the variable θ . Easy to see that a1 , a2 , a ≤ C b C1 , where C = const doesn’t depend on the function b(•). 2 2 Let Ω ± (δ ) = {ζ : ζ < δ ,± Im ζ > 0} , a δ ≡ ∫ a( x) e 2δ x dx , R 1 4   2 −  M (δ ) = C1  ∫ ∫  y − x p + ( y − x ) 4  exp[− 2δ ( x + y )]dxdy   R R  for some p > 4, where C1 = const doesn’t depend on the functions a (•), b(•). (6) 3.1.Theorem. For every δ < ε (see(3)) the operator K (ζ ) has form K (ζ ) − 1 = ±πib(0)lnζ (•, a1 )a2 + Q(ζ ), ζ ∈ Ω± (δ ), (7) where lnζ denotes the branch of logarithmic function which is continuous in the domain ζ ∉ [0,∞) and such that ln(−1) = π . The operator Q(ζ ) : L2 ( R) → L2 ( R) is compact and bounded uniformly with respect to ζ , namely: Q(ζ ) ≤ M (δ ) b C1 a δ , ζ ∈ Ω± (δ ), (8) where constant M (δ ) is defined by (6). The proof of theorem 3.1 is similar to one of Lemma 4.2 from [3]. Also Lemma 3 from [4] is important. 4.Finiteness of the spectrum We introduce scalar function γ (ζ ) and operator function Γ(ζ ) by the relations: γ (ζ ) = ±πib(0)lnζ , Γ(ζ )c = c + γ (ζ )(c, a1 )a2 , ζ ∈ Ω ± (δ ). (9) 4.1.Lemma. Suppose that b(0)(a2 , a1 ) ≠ 0. Let's choose the value δ1 < 1, 0 < δ1 < δ such that (see(8)) γ (ζ )(a2 , a1 ) ≡ π ln ζ ⋅ b(0) ⋅ (a2 , a1 ) ≥ 2, 0 < ζ ≤ δ1 (10) then the inverse operator Γ(ζ ) −1 exists for the coresponding values ζ and its (...truncated)