USING OF EULER-LAGRANGE DIFFERENTIAL EQUATIONS TO DYNAMIC ANALYSIS OF SOLID BAR SYSTEMS

УДК 531.36 : 531.312.1 : 531.311 : 531.381 : 531.215 В. Е. АРТЁМОВ (ДИИТ) ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА К ДИНАМИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В роботі розглянуто деякі аспекти динамічного розрахунку просторових стержневих систем із використанням нелінійних диференціальних рівнянь Ейлера. Викладено методику визначення тензору інерції для вузла стержневої системи. В работе рассмотрены некоторые аспекты динамического расчета пространственных стержневых систем с использованием нелинейных дифференциальных уравнений Эйлера. Изложена методика определения тензора инерции для узла стержневой системы. In the article some aspects of the Euler dynamic equations applied to modeling the three-dimensional bar systems are presented. Проблемам динамического расчета строительных конструкций посвящено достаточно большое количество научных работ и исследований, обстоятельные обзоры по которым выполнены, например, в [1 – 3]. Однако, в силу объективных причин, связанных с историей становления динамики сооружений как науки и развитием аналитических методов расчета, под термином «динамический расчет» традиционно принято понимать гармонический или частотный анализ конструкции [4]. Вместе с тем, существуют и другие методы динамического расчета механических систем, в частности, расчет во временной области, имеющий определенные преимущества по сравнению с частотными методами [5]. Он позволяет моделировать пространственную работу конструкции с учетом инерции вращения масс во времени, учитывать воздействие подвижных нагрузок, нелинейного трения и др. Суть метода сводится к последовательному выполнению следующих операций: разделение временной оси на равные интервалы; формирование уравнений движения узлов конструкции; проведение статического расчета конструкции; интегрирование уравнений движения узлов. Рассмотрим некоторые аспекты, связанные с реализацией данного подхода. В постановке метода конечных элементов (МКЭ) статическая работа дискретной стержневой системы при заданных жесткостных и инерционных параметрах однозначно описывается состоянием ее узлов. С точки зрения вычислительной математики, расчет во временной области является итерационным процессом, который выполняется в определенные моменты времени tk , k = 1, 2, … , kmax и каждому моменту времени tk будет соответствовать определенное напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции. Это означает, что статический расчет необходимо проводить на всем заданном интервале времени, так как параметры НДС системы, в общем случае, являются также функциями времени. Самыми длительными операциями при этом будут формирование общей матрицы жесткости и вычисление матрицы податливости МКЭ. Для описания поступательного движения узла стержневой системы воспользуемся уравнениями движения твердого тела в векторной форме второго закона Ньютона [6]: ma = F , (1) где m, a – соответственно масса и вектор линейного ускорения узла; F – главный вектор активных сил, приложенных к узлу, с учетом реакций связей. В координатной форме уравнения (1) примут вид: mx = Fx ; my = Fy ; mz = Fz . (2) Здесь и далее точкой принято обозначение производной параметра по времени. Даже при сложных видах нагружения процедура интегрирования уравнений (2) численными методами не представляет особых трудностей. Для этих целей может быть применен, например, метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности [7]. © Артемов В. Е., 2010 123 Для описания вращательного движения узла будем исходить из динамических уравнений Эйлера, описывающих вращение твердого тела вокруг неподвижной точки [8]: ⎧ J1ω1 + ( J 3 − J 2 ) ω2 ω3 = M1 ; ⎪⎪ ⎨ J 2 ω2 + ( J1 − J 3 ) ω3ω1 = M 2 ; ⎪ ⎪⎩ J 3ω3 + ( J 2 − J1 ) ω1ω2 = M 3 , (3) где J1 , J 2 , J 3 – главные моменты инерции массы, сосредоточенной в узле; ω1 , ω2 , ω3 – проекции угловой скорости узла; M 1 , M 2 , M 3 – проекции вектора главного момента сил, приложенных к узлу. Уравнения (3) являются нелинейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, которые также называют гироскопическими уравнениями Эйлера [9]. Они описывают вращение i -го узла конструкции в системе координат Oe, i , геометрически представляемой эллипсоидом инерции (рис. 1, б). Индекс возле каждого параметра в (3) определяет направление главной оси инерции, относительно которой он рассматривается. Рис. 1. Пространственная стержневая система: а – схема распределения инерции; б – эллипсоиды инерции узлов При определении инерционных характеристик узла следует помнить, что сам узел является абстрактным понятием и в реальной стержневой системе только стержень как твердое (деформируемое или недеформируемое) тело может обладать инерцией. Поэтому, по аналогии с жесткостными характеристиками, инерционные параметры j -го стержня также определяем в локальной системе координат O j , совмещенной с центром тяжести стержня (рис. 1, а). При этом каждый узел, соединяемый стержнем, получает половину его сосредоточенной массы. Распределение массы в твердом теле при рассмотрении вращательного движения описывается матрицей 3-го порядка – тензором инерции J [6]: 124 ⎡ J xx ⎢ J = ⎢ J yx ⎢ ⎢⎣ J zx J xy J yy J zy J xz ⎤ ⎥ J yz ⎥ , ⎥ J zz ⎥⎦ (4) где J xx , J yy , J zz – осевые моменты инерции массы, а остальные элементы – центробежные моменты инерции, которые принимаются в расчетах со знаком «минус». Форма тензора (4) пригодна для описания инерционных характеристик как отдельно взятого стержня конструкции, так и узла. В случае произвольно ориентированного стержня его тензор инерции необходимо повернуть с помощью соответствующей матрицы поворота [10] и перенести в узел, используя теорему Гюйгенса-Штейнера [6], после чего все компоненты тензора будут соответствовать осям глобальной системы координат O . Выполнив суммирование тензоров инерции всех стержней, сходящихся в i -м узле, получим матрицу (4). Однако использовать ее компоненты в уравнениях (3) можно только для систем, обладающих симметрией во всех направлениях. Тензор в этом случае будут определять только осевые моменты инерции, и они же будут являться главными (центробежные будут равны нулю): J1 = J xx ; J 2 = J yy ; J 3 = J zz . (5) Появление центробежных моментов инерции может быть вызвано различными факторами. Например, если в пространственной стержневой системе у всех элементов определены только главные моменты инерции, но хотя бы один из узлов имеет координаты x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 , то в соседних узлах получим все девять ненулевых моментов инерции, или «полный» тензор (4). В этом случае для отыскания главных моментов используем кубическое уравнение – уравнение собственных значений тензора инерции [6]: J xx − J * − J xy − J xz − J yx J yy − J * − J yz − J zx − J zy J zz − J * = 0, (6) где J * – один из трех искомых главных моментов инерции (корень уравнения). Решая уравнение (6), находим величины J1 , J 2 , J 3 . Этот процесс также называется диагонализацией матрицы. Новый тензор, содержащий только главные моменты инерции, будет иметь вид: ⎡ J1 ⎢ J′ = ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0⎤ ⎥ 0 ⎥, J (...truncated)