Ensayos numéricos sobre la formación de patrones de Turing bajo la acción de campos convectivos incompresibles: un acercamiento desde el problema de la cavidad

Ensayos numéricos sobre la formación de patrones de Turing bajo la acción de campos convectivos incompresibles: un acercamiento desde el problema de la cavidad1 Numerical Essays on the Development of Turing Patterns under the Effect of Incompressible Convective Fields: An Approach from the Cavity Problem2 Ensaios numéricos sobre a formação de padrões de Turing sob a ação de campos convectivos incompressíveis: uma aproximação desde o problema da cavidade3 Diego Alexander Garzón-Alvarado4 Carlos Humberto Galeano-Urueña5 Juan Miguel Mantilla-González6 Fecha de recepción: 8 de marzo de 2010. Fecha de aceptación para publicación: 8 de abril de 2010. Este artículo se deriva de un proyecto de investigación denominado Simulación computacional en ingeniería mecánica y biomédica (fase II), financiado por la División de Investigación de la sede Bogotá (DIB) de la Universidad Nacional de Colombia. 2 Submitted on: March 8, 2010. Accepted on: April 8, 2010. This article results from the research project called Computer Simulation in Mechanical and Biomedical Engineering (phase II), funded by the Research Division, Bogota (DIB), Universidad Nacional de Colombia. 3 Data de recepção: 8 de março de 2010. Data de aceitação para publicação: 8 de abril de 2010. Este artigo deriva-se de um projeto de pesquisa denominado Simulação computacional em engenharia mecânica e biomédica (fase II), financiado pela Divisão de Pesquisa da Sede Bogotá (DIB) da Universidade Nacional da Colômbia. 4 Ingeniero mecánico, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia. Máster en Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia. Doctor en Mecánica Computacional, Universidad de Zaragoza, España. Profesor asociado del Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia. Correo electrónico: . 5 Ingeniero mecánico, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia. Magíster en Ingeniería Mecánica, Universidad de Cienfuegos, Cienfuegos, Cuba. Magíster en Matemática Aplicada, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. Profesor asistente del Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia. Correo electrónico: . 6 Ingeniero mecánico, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia. Magíster en Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia. Profesor asistente del Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia. Correo electrónico: . 1 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 14 (2): 239-260, julio-diciembre de 2010. ISSN 0123-2126 Ingenieria 14-2.indb 239 17/11/2010 09:05:59 p.m. 240 Diego Alexander Garzón-Alvarado, Carlos Humberto Galeano-Ureña, Juan Miguel Mantilla-González Resumen Abstract Resumo Palabras clave Key words Palabras chave En este artículo se presentan varios ensayos numéricos sobre las ecuaciones de reacción-difusión en el espacio de Turing afectadas por campos convectivos presentes en flujos incompresibles, bajo el mecanismo de reacción de Schnakenberg. Los ensayos se realizan en 2D sobre cuadrados unitarios, a los cuales se les impone un campo advectivo proveniente de la solución del problema de flujo en una cavidad. El modelo desarrollado consiste en un sistema desacoplado de ecuaciones de reacción-advección-difusión, junto con las ecuaciones de Navier-Stokes de flujo incompresible, el cual se soluciona de forma simultánea mediante el método de los elementos finitos. Los resultados muestran patrones complejos que mezclan bandas y puntos que llegan al estado estable. Además, se muestran resultados en los que el patrón generado por las concentraciones del sistema reactivo varía tanto en el tiempo como en el espacio, debido al efecto ejercido por el campo advectivo. Los ensayos numéricos muestran que los patrones obtenidos son independientes de las condiciones iniciales y de la malla empleada para la solución. Reacción-advección-difusión, inestabilidades de Turing, problema de la cavidad. This work presents a number of numerical examples of reaction-difussion equations in Turing space, modified by convective fields in incompressible flows, using a Schnakenberg reaction mechanism. Examples were made in 2D using quad elements, which have an imposed advective field derived from the cavity problem solution. The developed model consists of an uncoupled system of equations including the reaction-advection-diffusion equations and the Navier-Stokes equations for incompressible flow. This system is solved simultaneously using the finite element method. Results illustrate that complex patterns are formed, mixing dots and stripes which reach a stable state. Changes in pattern concentration in both space and time are also shown due to the effect of the advective field. Numerical examples confirm that pattern formation is independent of initial conditions and mesh. Reaction-advection-diffusion, Turing instabilities, cavity problem. Neste artigo apresentam-se vários ensaios numéricos sobre as equações de reação-difusão no espaço de Turing afetadas por campos convectivos presentes em fluxos incompreensíveis, sob o mecanismo de reação de Schnakenberg. Os ensaios realizam-se em 2D sobre quadrados unitários, aos quais se impõem um campo advectivo proveniente da solução do problema de fluxo em uma cavidade. O modelo desenvolvido consiste em um sistema desacoplado de equações de reação-advecção-difusão, junto com as equações de Navier-Stokes de fluxo incompreensível, que se soluciona de forma simultânea mediante o método de os elementos finitos. Os resultados mostram padrões complexos que misturam bandas e pontos que chegam ao estado estável. Além disso, mostramse resultados em que o padrão gerado pelas concentrações do sistema reativo varia tanto no tempo como no espaço, devido ao efeito exercido pelo campo advectivo. Os ensaios numéricos mostram que os padrões obtidos são independentes das condições iniciais e da malha empregada para a solução. Reação-advecção-difusão, instabilidades do Turing, problema da cavidade. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 14 (2): 239-260, julio-diciembre de 2010 Ingenieria 14-2.indb 240 17/11/2010 09:05:59 p.m. Ensayos numéricos sobre la formación de patrones de Turing bajo la acción de campos convectivos incompresibles 241 Introducción Diversos problemas físicos pueden modelarse mediante el balance de tres fenómenos: la difusión, la convección y la reacción (Garzón, 2007). La primera se define como la dispersión de las especies involucradas en el proceso a lo largo del dominio físico del problema; la convección, como el movimiento de las especies, gracias al transporte por el fluido del medio, y la reacción, como el proceso de interacción mediante la cual se generan o se consumen las especies involucradas en el fenómeno. Matemáticamente, el problema de reacción-advección-difusión (RAD) se expresa a partir de la ecuación diferencial (1), junto con las condiciones de borde (2). ∂u + V ⋅ ∇u = ∇⋅ k ∇u + Q (u ) ∂t u = h (x, t) sobre Γu (...truncated)