PATRONES DE TURING SOBRE ESFERAS CON CRECIMIENTO CONTINUO

Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 17, p. 39-46. Julio 2012 Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia) PATRONES DE TURING SOBRE ESFERAS CON CRECIMIENTO CONTINUO Diego A. Garzón* Angélica M. Ramírez** Carlos A. Duque*** RESUMEN En este artículo se desarrollan varios ejemplos numéricos sobre ecuaciones de reacción-difusión con dominio creciente, empleando el modelo de reacción de Schnakenberg, con parámetros en el espacio de Turing. Por tanto, se realizan ensayos numéricos sobre la aparición de los patrones de Turing en superficies esféricas. Para la solución de las ecuaciones de reacción-difusión se presenta un método de solución en superficies en tres dimensiones mediante el método de los elementos finitos con el uso de la formulación lagrangiana total. Los resultados muestran que la formación de los patrones de Turing depende de la velocidad de crecimiento de la superficie, el tipo de número de onda predicho en la teoría de dominios cuadrados y su tiempo de estabilización. Estos resultados pueden esclarecer algunos fenómenos de cambio de patrón en la superficie de la piel de los animales que exhiben manchas características. PALABRAS CLAVE: reacción-difusión; Turing; lagrangiano total; elementos finitos; deformación de superficies. * Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Colombia; Magíster en Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes; Doctor en Mecánica Computacional, Universidad de Zaragoza. Profesor Asociado e investigador, Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería (GNUM), Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia. ** Ingeniera Mecánica, Universidad Nacional de Colombia; Doctora en Ingeniería Biomédica, Universidad de Zaragoza. Investigadora, Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería (GNUM), Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia. Profesora Asociada, Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Central de Colombia. Bogotá, Colombia. *** Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Colombia; Magíster en Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes; Ph.D. en Ingeniería Mecánica, Universidad de Warwick. Profesor Asociado e investigador, Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería (GNUM), Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia. Artículo recibido 28-III-2011. Aprobado 19-III-2012 Discusión abierta hasta diciembre de 2012 Patrones de turing sobre esferas con crecimiento continuo TURING PATTERNS ON SPHERES WITH CONTINUOUS GROWTH ABSTRACT We have developed several numerical examples of reaction-diffusion equations with growth surface domain. In this research we use the Schnakenberg reaction model, with parameters in the Turing space. Therefore, numerical tests are performed on the appearence of Turing patterns in spherical surfaces. For the solution of reaction diffusion equations provides a method of settling on surfaces in three dimensions using the finite element method under the total Lagrangian formulation. The results show that the formation of Turing patterns depends on the growth rate of the surface, the type of wave number predicted in the theory of square domains and their stabilization time. These results may explain some phenomena of pattern change on the surface of the skin of animals that exhibit characteristic spots. KEY WORDS: reaction-diffusion; Turing; total Lagrangian; finite elements; deformation of surfaces. PADRÕES DE TURING SOBRE ESFERAS COM CRESCIMENTO CONTÍNUO RESUMO Neste artigo desenvolvem-se vários exemplos numéricos sobre equações de reação-difusão com domínio crescente, empregando o modelo de reação de Schnakenberg, com parâmetros no espaço de Turing. Por tanto, realizam-se ensaios numéricos sobre o aparecimento dos padrões de Turing em superfícies esféricas. Para a solução das equações de reação-difusão apresenta-se um método de solução em superfícies em três dimensões mediante o método dos elementos finitos baixo o uso da formulação lagrangiana total. Os resultados mostram que a formação dos padrões de Turing depende da velocidade de crescimento da superfície, o tipo de número de onda predito na teoria de domínios quadrados e seu tempo de estabilização. Estes resultados podem esclarecer alguns fenômenos de mudança de padrão na superfície da pele dos animais que exibem manchas características. PALAVRAS-CÓDIGO: reação-difusão; Turing; lagrangiano total; elementos finitos; deformação de superfícies. 1. INTRODUCCIÓN Las ecuaciones de reacción-advección-difusión (RAD) (Babuška et al., 1995; Madzvamuse et al., 2002; Garzón-Alvarado, Martínez y Linero, 2011) y otros modelos más complejos, donde intervienen más especies o reactantes, poseen la capacidad para crear patrones espacio-temporales. Un caso particular de estos patrones son las inestabilidades de Turing (Madzvamuse et al., 2003; Garzón, 2007), que se caracterizan por la aparición de distribuciones de especies (patrones) estables en el tiempo e inestables en el espacio y con variadas aplicaciones (Hirayama y Takaki, 1988; Ardes, Busse y Wicht, 1997; Madzvamuse et al., 2002). 40 El análisis de estos sistemas de reaccióndifusión (RD) que presentan inestabilidad de Turing se ha desarrollado tradicionalmente mediante dos marcos de trabajo: análisis matemático (Mei, 2000) y simulación numérica (Madzvamuse, 2000; Madzvamuse et al., 2003; Garzón, 2007). Desde el punto de vista analítico, los esfuerzos por entender el comportamiento de los sistemas de RD se han centrado en el estudio de la relación entre las bifurcaciones del espacio de parámetros y la formación de patrones. Desde esta perspectiva, se han estudiado los sistemas de RD mediante comparaciones de subsoluciones y supersoluciones, teoría de grado, índice de Conley, teoría de puntos críticos y Revista EIA Rev.EIA.Esc.Ing.Antioq perturbaciones singulares para varios tipos de máximos principales (Mei, 2000). Estos métodos han sido efectivos para el análisis de soluciones estacionarias y ondas viajeras (Sagués et al., 2004; Rüdiger et al., 2007). También se han estudiado escenarios de bifurcaciones complejas en sistemas de RD aplicando métodos de teoría de grupo para problemas con simetrías (Allgower y Georg, 1997; Painter, Othmer y Maini, 1999). Los esfuerzos en esta área del análisis matemático y, específicamente, de la dinámica de sistemas han permitido construir un gran conocimiento, que se ha comprobado y ampliado con el uso de la simulación numérica. La simulación numérica de sistemas de RD ha permitido corroborar el conocimiento obtenido en forma analítica sobre la formación de patrones, como en Painter, Othmer y Maini (1999); Madzvamuse (2000); Painter, Maini y Othmer (2000) y Madzvamuse et al. (2003), donde se desarrollaron ejemplos nu méricos sobre la formación de patrones en dominios bidimensionales bajo consideraciones de dominio creciente. En Madzvamuse (2000) se reporta la aparición de diferen (...truncated)