Mathematical modeling in problem of searching optimal control of alloys obtaining for machine parts under uncertainty conditions

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА Д. А. Дёмин, д-р техн. наук Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», Харьков, Украина e-mail: Ключові слова: математична модель, керування, енергетичне машинобудування, сплав, надійність УДК 681.5:519.24 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ПОЛУЧЕНИЯ СПЛАВОВ ДЛЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИН В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ Анотація. Описані результати досліджень, присвячених математичному моделюванню в задачах пошуку оптимального за кінцевим станом керування процесами отримання сплавів для відповідальних деталей енергетичного машинобудування. Запропоновано математичний опис об'єкта керування і показано, які з параметрів математичної моделі підлягають оцінці для реалізації відомих методів пошуку оптимального керування в лінійно-квадратичної задачі і задачі пошуку оптимального за кінцевим станом керування. Наведено алгоритм оцінювання параметрів математичної моделі досліджуваного процесу в умовах дворівневої невизначеності. Введение Сплавы для деталей машиностроения, как известно, получают выплавкой в металлургических печах, основными и наиболее прогрессивными из которых являются электродуговые и индукционные печи. Детали энергетического оборудования обладают той специфической особенностью, что «плата за ошибку» в процессе её изготовления может быть непомерно высокой. Именно поэтому требования высокой функциональной надежности таких деталей могут рассматриваться в числе доминирующих. При этом следует отметить, что высокая функциональная надёжность деталей связана с высокой параметрической надёжностью отливок, из которых данные детали изготавливаются. Параметрическая надежность может оцениваться величиной вероятности получения качественной отливки при существующем уровне технологической оснащенности, оборудования и степени автоматизации технологических процессов. Это означает, что все параметры отливки должны находиться внутри поля допуска, регламентированного соответствующими ГОСТами или ТУ. Наиболее «узким местом» в формировании качества отливок является качество сплава, оцениваемого, как известно, химическим составом и микроструктурой, влияющими на физико-механические или специальные свойства сплава. Поэтому, если в процессе плавки удается добиться стабильного химического состава, микроструктуры и свойств в смысле обеспечения попадания каждого из его параметров в заданный диапазон от одной кампании плавки к другой или в пределах одного непрерывного процесса плавки, можно говорить о достаточной параметрической надежности. Иными словами, такая параметрическая надежность обеспечивает заданный уровень требований по функциональной надёжности деталей машин вообще, и деталей энергетического оборудования в частности. Однако рассмотрение процесса получения сплава в качестве объекта управления вызывает ряд серьёзных проблем, вызванных наличием многоуровневой неопределённости и слабой формализацией – большой сложностью математического описания управляемого процесса плавки. В основном, причина этой сложности кроется в том, что адекватную математическую модель, работоспособную в смысле использования для решения задачи поиска оптимального управления, можно строить лишь на основе данных пассивного эксперимента, причём непосредственно по данным цеховых исследований, т.е. в условиях наличия малой выборки данных. Именно поэтому решение задачи оценивания структуры и параметров математических моделей, описывающих процессы плавки, является первоочередным в процедуре поиска оптимального управления и весьма актуальными. Анализ литературных данных и постановка проблемы Для решения большого количества реальных производственных задач, связанных с моделированием и оптимизацией управления в условиях неопределенности, сегодня сформированы © Д. А. Дёмин, 2013 22 ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 5 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА специальные научные дисциплины, среди которых можно выделить теорию нечетких множеств, теорию интервальной математики, теории свидетельств Демпстера-Шефера [1 – 2] и теорию возможностей, математической основой которой является теория нечетких множеств. Для математической формализации неопределенностей возможно применение теории приближенных (грубых) множеств Павлака [3], позволяющей на основе итоговых экспертных оценок о состоянии системы и объективных или субъективных оценках ее параметров строить алгоритмы прогнозирования на основе процедур логического вывода [4]. В фундаментальной работе [4] отмечается также, что в приложениях могут быть успешно применены подходы на основе теорий приближенных и нечетких множеств [5]. Эффективными на практике оказываются методы моделирования, построенные на основе теории недоопределенных множеств [6 – 8], как элемент методологического обобщения существующих подходов к анализу и формализации неопределенностей. Основоположником же теории нечетких множеств в современной трактовке, как отмечено в работе [4], является Л. А. Заде [9]. Фундаментальным трудом, позволяющим использовать аппарат нечёткой математики для решения проблем управления сложными объектами, является работа [10]. Математический аппарат теории нечетких множеств находит применение в разнообразных технических приложениях, примеры которые даны в работе [4]. В задаче математического моделирования и поиска оптимального управления процессами плавки в условиях неопределенности основной проблемой является выбор структуры математической модели и оценивание её параметров в условиях двухуровневой неопределенности. Решению именно этой проблемы и посвящено исследование. Математическое описание и постановка задачи оптимального управления процессом получения сплава Объект управления в задаче математического моделирования и поиска оптимального управления процессом получения сплава представляет собой процесс плавки, реализуемой в плавильнозаливочной системе, центральной частью которой является электропечь. На этапе плавки объект управления может быть описан линейной системой вида  x  t   A  t  x  t   B  t  u  t  , t  t0 , T  , x  t0   x0 , x  Rn , u  Rm , (1) где A(t), B(t) – матрицы, имеющие кусочно-непрерывные ограниченные элементы; x(t) – вектор состояния системы в момент времени t; u(t) – вектор-функция управления в момент времени t; Rn – заданное допустимое множество значений вектора состояний системы; Rm – заданное допустимое множество значений вектора-функции управления. Как следует из накопленного в промышленности опыта плавок, управление процессом осуществляется путем регулирования положения электрода относительно шихты при выбранной ступени напряжения трансформатора. Если перемещение электрода осуществляется электродвигателем, то в качестве управляющего воздействия может быть выбрана величина приложенного к электродвигателю напряжения, если же перемещение электрода осуществляется с помощью гидропривода, в качестве управляющего воздействия может быть выбрано давление в гидроцилиндре механизма перемещения электрода. Компонентами фазового вектора целесообразно (...truncated)