Theoretical aspects and methods of the parameters identification of the electric traction system devices. The instantaneous powers method; series connection of elements

УДК 621.335.04 : 621.333 Т. М. МІЩЕНКО (ДІІТ) ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ТА МЕТОДИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ ПРИСТРОЇВ СИСТЕМИ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ТЯГИ. МЕТОД МИТТЄВИХ ПОТУЖНОСТЕЙ; ПОСЛІДОВНЕ З’ЄДНАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ Вступ: В системі електричної тяги змінного струму необхідно досліджувати аварійні, тим більше стохастичні, перехідні електромагнітні або (і) електроенергетичні процеси завдяки методам математичного або комп’ютерного (імітаційного) моделюванню. Це дозволяє спростити й скоротити натурні випробування, а також розширити можливості досліджень, тому що допускає широку варіацію значень та реальність параметрів елементів силових електричних кіл системи тяги без значних матеріальних витрат. Мета: З цією метою пропонується математична модель нелінійної динамічної системи «тягова підстанція – тягова мережа – електрорухомий склад» у вигляді пасивного двополюсника з заданими вхідними напругою та струмом. Задача: Задача ідентифікації пристрою, що досліджується, а отже двополюсника, полягає у визначенні електричних параметрів (активного опору індуктивності та ємності) пасивних елементів, які заміщують двополюсник , при чому схема заміщення його виглядає як послідовне з’єднання пасивних елементі. Методологія: Пропонується метод розв’язання такої задачі для пасивного двополюсника в режимі тяги зі змінними, несинусоїдними, детермінованими періодичними, вхідними напругою та струмом. Розрахунки виконано для електровозів ДС3 і 2ЕС5К. Результати: Отримані результати параметрів можуть бути застосовані в подальших розрахунках більш складних систем електричної тяги змінного струму. Ключові слова: електровоз змінного струму, еквівалентна схема заміщення, ідентифікація параметрів, двополюсник, послідовне з’єднання елементів, математичне моделювання нтуром R − L або R − C , але він може бути заміщений і ділянкою з послідовним з’єднанням нелінійного резистора зі статичним опором R2 та параметричного елемента X 2 (рис. 1, б), які виконують ті ж самі функції, що R , L або R , C в схемах паралельного з’єднання. Вступ Ця робота є продовженням експериментально-теоретичних досліджень [1] по ідентифікації параметрів підсистем чи пристроїв систем електричної тяги і зокрема електрорухомого складу (ЕРС). В [1] пасивний двополюсник, що заміщує ЕРС, представлявся паралельним контуром коа б 1 в ~ i(t) R2 ~ i(t) 1 ~ u(t) П 1 ~ i(t) uа ~ u(t) R2 uа ~ u(t) L2 uр C2 uр 2 2 2 Рис. 1. Схема заміщення пасивного двополюсника ділянкою з послідовним з’єднанням нелінійних елементів Теоретичне обґрунтування методу Розкладемо прикладену до двополюсника напругу u (t ) на дві складові падіння напруги: активну uа (t ) на резисторі R2 , яка співпадає за формою зі струмом і (t ) , та реактивну (неакти- © Т. М. Міщенко, 2012 121 вну) u р (t ) на реактивному елементі, ортогональну до і (t ) , (рис. 1, б): u (t ) = uа (t ) + u р (t ) . (1) Помноживши це рівняння на і (t ) , отримаємо u (t )і (t ) = uа (t )і (t ) + u р (t )і (t ) . (2) Ліва частина рівняння (2) являє собою повну миттєву потужність s (t ) , а в правій частині − миттєві, відповідно, активна p (t ) та реактивна q (t ) потужності. s (t ) = p (t ) + q (t ) . (3) Підставивши в (3), згідно з рис. 1, б, вираз p (t ) = ua (t ) = R2 ⋅ i 2 (t ) , та враховуючи ортогональність u p (t ) та і (t ) , та проінтегрувавши отриманий вираз, отримаємо активну (середню за термін часу 0… τ ) потужність, що споживається резистором R2 двополюсника: τ P= τ τ 1 1 p (t ) dt = ∫ R2i 2 (t )dt = R2 I 2 ∫ τ0 τ0 Звідки (4) де I − діюче значення струму двополюсника за період часу [0… τ ]. Визначимо миттєву реактивну потужність q(t ) , вона дорівнює для рис. 1, б: q (t ) = u p (t )i (t ) = i (t )[u (t ) − ua (t )] = = i (t )[u (t ) − R2i (t )] = u (t )i (t ) − R2i 2 (t ) = P = u (t )i (t ) − 2 i 2 (t ) = u (t )i (t ) − R2i 2 (t ). I 122 L2i 2 (t ) , 2 Звідки L2 , як другий параметр (перший − R2 за формулою (4)) схеми заміщення двополюсника визначиться як L2 (t ) = P 2 i (t ) I2 . i (t )i′(t ) u (t )i (t ) − (8) Тепер нехай з самого початку L2 (t ) , тоді енергія, що накопичується в L2 буде: Wм (t ) = L2 (t )i 2 (t ) . 2 (9) Її похідна, яка дорівнює q(t ) , буде 2i (t )i′(t ) L2 (t ) + i 2 (t ) 2 dL2 dt . (10) di dL2 u (t ) = 2 dt L2 (t ) − 2 + 2 R2 = 0 . dt i (t ) i (t ) (11) Розглянемо варіант схеми заміщення двополюсника послідовного кола R2 − C2 (рис. 1, в). Величина R2 , як і раніше, визначається за формулою (4); знайдемо С2 . Енергія, що накопичується в С2 , яку спочатку приймемо постійною дорівнює 2 (5) Нехай реактивним елементом в схемі заміщення двополюсника буде індуктивність L2 (рис. 1, б); визначимо її. Електромагнітна енергія, що запасається в магнітному полі індуктивності L2 (при початковій умові, що L2 = const ) дорівнює Wм (t ) = (7) Спростивши вираз (10) та прирівнявши його формулі (5) отримаємо остаточно диференціальне рівняння для шуканої функції L2 (t ) τ P , I2 dWм 2 L2i (t )i′(t ) P = = u (t )i (t ) − 2 i 2 (t ) , dt 2 I dWм = q (t ) = dt 1 1 p(t ) dt + ∫ q (t )dt = ∫ τ0 τ0 R2 = де спочатку приймемо, що L2 = const . Її похідна дорівнює q(t ) , тоді (6) C u 2 C2u p (t ) C2 [u (t ) − ua (t )]2 We (t ) = 2 c = = . 2 2 2 (12) Активне падіння напруги дорівнює ua (t ) = R2i (t ) . (13) Підставивши (13) в(12) та узявши похідну від Wм , отримаємо dWe = C2 [u (t )u ′(t ) − R2u ′(t )i (t ) − dt −R2u (t )i ′(t ) − R2i (t )i ′(t )] (14) Прирівнявши (14) до виразу (5), отримаємо шуканий параметр С2 (t ) = З одного боку, миттєва реактивна потужність q(t ) кола схеми заміщення дорівнює u (t )i (t ) − R2i 2 (t ) u (t )u ′(t ) − R2u ′(t )i (t ) − R2u (t )i′(t ) + R22i(t )i′(t ) q(t ) = [uL (t ) + uC (t )]i(t ) = = [u (t ) − ua (t )]i (t ) = .(15) Тепер розглянемо випадок, що, згідно з початковою умовою, С2 . Тоді енергія, що, накопичується в такій ємності, згідно з рис. 1, в, буде: 2 dWe C2 (t )u p (t ) C2 (t ) = = [u (t ) − R2i(t )]2 = dt 2 2 = C2 (t ) 2 ⎡u (t ) − 2u (t ) R2i (t ) + R22i (t ) ⎤ . ⎦ 2 ⎣ (16) Взявши похідну від цього виразу і прирівнявши формулі (5), отримаємо рівняння = [u (t ) − Ri (t )]i (t ). З іншого боку, q(t ) визначається швидкістю зміни електромагнітної енергії W , що накопичується в реактивних елементах dW d [Wм (t ) + We (t )] q(t ) = = = dt dt d ⎡ ψ(t )i (t ) Q (t )uC (t ) ⎤ = ⎢ + ⎥= 2 dt ⎣ 2 ⎦ d ⎡ L(t )i (t ) ⋅ i (t ) C (t )uC (t )uC (t ) ⎤ = ⎢ + ⎥= 2 2 dt ⎣ ⎦ dC2 ⎡ u 2 (t ) R 2i 2 (t ) ⎤ =⎢ − u (t )i (t ) R2 + 2 ⎥+ 2 ⎦ dt ⎣ 2 ⎡ u (t )u ′(t ) − R2u ′(t )i (t ) − ⎤ +⎢ ⎥ C2 (t ) − ⎣ − R2u (t )i′(t ) + R2i (t )i′(t ) ⎦ −u (t )i (t ) + R2i 2 (t ) = 0, uа uL R d ⎡ L(t )i 2 (t ) C (t )uC2 (t ) ⎤ + ⎢ ⎥= dt ⎣ 2 2 ⎦ = 2 ⋅ L(t )i (t )i′(t ) L′(t )i 2 (t ) + + 2 2 uC (t ) = (20) i (t ) . C (t ) (21) Тоді (19) прийме вигляд q(t ) = L(t ) ⋅ i(t ) di 1 + L(t )i 2 (t ) + dt 2 i (t ) 1 i (t )dt + i 2 (t ) dt . ∫ ∫ 2 C (t ) 2C (t ) (22) Прирівняємо вирази (18) та (22) [u (t ) − Ri (t )]i (t ) = di 1 = L(t )i (t ) + L(t )i 2 (t ) dt 2 Рис. 2. Схема заміщення фідерної зони з врахуванням при (...truncated)