La comparación relativa de tamaños: un punto de partida alternativo y viable para la enseñanza de las fracciones

La comparación relativa de tamaños: un punto de partida alternativo y viable para la enseñanza de las fracciones José Luis Cortina y Claudia Zúñiga Resumen: Se analizan 14 entrevistas clínicas realizadas a todos los alumnos de un grupo de cuarto grado de primaria en una escuela pública mexicana. Se identifican la diversidad y la naturaleza de los razonamientos que surgieron entre los estudiantes al involucrarse en actividades didácticas que implicaron la comparación relativa de tamaños. Estas actividades se diferencian de las que se utilizan tradicionalmente en la enseñanza inicial de las fracciones en que no se fundamentan en la partición (o repartición) equitativa. Del análisis se desprende que actividades como las que se utilizaron pueden ser un punto de partida viable para la enseñanza de las fracciones. Palabras clave: fracciones, números racionales, entrevistas clínicas, diseño de la enseñanza, educación primaria. Abstract: Fourteen clinical interviews of fourth grade students from a Mexican public school are analyzed. The interviews included tasks in which students were asked to reason about the relative capacity of cups, specifically of how many of them could be filled with the milk contained in a milk carton. The analysis suggests that these activities could be a viable starting point for supporting students’ learning of fractions; a starting point that can be an alternative to the “equalpartitioning” (or “equal-sharing”) approach that has been traditionally used. Keywords: fractions, rational numbers, clinical interviews, instructional design, elementary education. Introducción En este artículo se analizan 14 entrevistas clínicas realizadas a todos los alumnos de un grupo de cuarto grado de primaria, en una escuela pública urbana Fecha de recepción: 14 de enero de 2008. Educación Matemática, vol. 20, núm. 2, agosto de 2008, pp. 35-63 35 La comparación relativa de tamaños del estado de Chiapas, México. Las entrevistas se realizaron con el propósito de identificar la diversidad y naturaleza de los razonamientos que surgirían entre los estudiantes al involucrarse en actividades didácticas que implicaran la comparación relativa de tamaños. Estas actividades se diferencian de las que se utilizan tradicionalmente en la enseñanza inicial de las fracciones en que no se fundamentan en la partición (o repartición) equitativa. Del análisis se desprende que actividades como las que se utilizaron pueden ser un punto de partida viable para la enseñanza de las fracciones, con el potencial de facilitar el desarrollo de nociones importantes de este concepto que no están siendo adquiridas por millones de estudiantes hoy día. Al principio del artículo explicamos cómo nuestra investigación forma parte de la tradición en educación matemática que se ha preocupado por encontrar trayectorias de aprendizaje que permitan a los estudiantes apropiarse de ideas matemáticas importantes de manera eficaz. Después, identificamos en la literatura especializada elementos que podrían ayudar al diseño de una propuesta didáctica de las fracciones que se fundamentara en la idea de tamaño relativo y no en la de partición equitativa. Posteriormente, analizamos los resultados de nuestra investigación y explicamos cómo sugieren éstos que sería viable involucrar a niños que se inician en el aprendizaje de las fracciones en actividades didácticas basadas en la comparación relativa de tamaños. Referentes teóricos Las entrevistas clínicas que analizamos en este artículo fueron realizadas con el propósito de contribuir a la creación de una propuesta didáctica para la enseñanza de las fracciones, siguiendo el marco propuesto por Paul Cobb y sus colegas (cf. Cobb y McClain, 2004; Cobb, 1999; Gravemeijer, Cobb, Bowers y Whitenack, 2000; Stephan, Cobb, y Gravemeijer, 2003) para el diseño de la enseñanza (instructional design) en matemáticas.1 Este marco implica el desarrollo simultáneo de secuencias de enseñanza (instructional sequences) y de los supuestos teóricos que las sustentan. Dichos supuestos se expresan en la forma de trayectorias hipotéticas 1 El marco propuesto por Cobb y sus colegas para el diseño de la enseñanza retoma elementos de la educación matemática realista (Streefland, 1991; Treffers, 1987), de la epistemología genética de Jean Piaget, del constructivismo pragmático de John Dewey y del interaccionismo simbólico de Herbert Blumer (cf. Cobb, 1999; Cobb y McClain, 2004; Cobb, Zhao y Visnovska, 2008). 36 Educación Matemática, vol. 20, núm. 2, agosto de 2008 José Luis Cortina y Claudia Zúñiga de aprendizaje (Simon, 1995), las cuales se conforman con conjeturas respecto a los patrones sucesivos de razonamiento que seguirían los alumnos en su aprendizaje y a los medios a través de los cuales se podría apoyar el surgimiento de estos patrones sucesivos (Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer y Schauble, 2003). Dos elementos importantes de una trayectoria de aprendizaje son la especificación de las formas de razonamiento a las que se quiere que lleguen los estudiantes —sobre la idea matemática que se está trabajando— y el punto de partida de la enseñanza. Este último implica la especificación de formas de razonamiento en las que los alumnos podrían involucrarse con relativa facilidad y cuya evolución hacia formas más complejas de razonamiento podría promoverse con la enseñanza. Así pues, en consistencia con el marco propuesto por Cobb y sus colegas, nuestra investigación se realizó con el objetivo de identificar la diversidad y naturaleza de los razonamientos que surgirían al involucrar a niños en actividades didácticas basadas en la comparación relativa de tamaños. Con ello buscamos determinar si este tipo de actividades podrían ser un punto de partida viable para una trayectoria de aprendizaje de las fracciones, fundamentada en nociones distintas a la partición y a la repartición. Antecedentes La enseñanza inicial de las fracciones Los educadores matemáticos se han preocupado durante muchos años por cómo introducir a los estudiantes en el uso del sistema de numeración que expresa cantidades como la división de dos números naturales (i.e., a ). La b preocupación ha consistido en desarrollar actividades que, por una parte, sean accesibles y significativas para los alumnos y que, por otra, constituyan una base firme para el desarrollo de nociones relativamente complejas sobre el sistema (cf. Lamon, 2007), nociones como las que se requerirían para ubicar fracciones en la recta numérica (Bright, Behr, Thomas y Wachsmuth, 1988; Hannula, 2003; Hart, 1989; Saxe et al., 2007). La partición equitativa ha sido la aproximación que se ha preferido. Desde esta aproximación se espera lograr que los alumnos entiendan el denominador de una fracción como un número que cuantifica el tamaño de pedazos producidos a través de la segmentación homogénea de un entero, y el numerador como un número de esos segmentos (véase la figura 1). Educación Matemática, vol. 20, núm. 2, agosto de 2008 37 La comparación relativa (...truncated)